Để tính các cạnh của tam giác vuông ABH với góc \( \angle BAH = 40^\circ \) và cạnh AB = 3 cm, ta có thể sử dụng các hàm lượng giác.

1. **Tính cạnh BH:**

Trong tam giác vuông ABH, góc \( \angle BAH = 40^\circ \), cạnh AB là cạnh huyền và cạnh BH là cạnh đối diện với góc \( \angle BAH \).

Ta sử dụng hàm sin:
\[ \sin(40^\circ) = \frac{BH}{AB} \]

Thay giá trị vào:
\[ \sin(40^\circ) = \frac{BH}{3} \]

Tính \( \sin(40^\circ) \) (sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác):
\[ \sin(40^\circ) \approx 0.6428 \]

Do đó:
\[ 0.6428 = \frac{BH}{3} \]

Giải phương trình để tìm BH:
\[ BH = 3 \times 0.6428 \]
\[ BH \approx 1.9284 \, \text{cm} \]

2. **Tính cạnh AH:**

Trong tam giác vuông ABH, cạnh AH là cạnh kề với góc \( \angle BAH \).

Ta sử dụng hàm cos:
\[ \cos(40^\circ) = \frac{AH}{AB} \]

Thay giá trị vào:
\[ \cos(40^\circ) = \frac{AH}{3} \]

Tính \( \cos(40^\circ) \) (sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác):
\[ \cos(40^\circ) \approx 0.7660 \]

Do đó:
\[ 0.7660 = \frac{AH}{3} \]

Giải phương trình để tìm AH:
\[ AH = 3 \times 0.7660 \]
\[ AH \approx 2.298 \, \text{cm} \]

Vậy, các cạnh của tam giác vuông ABH là:
- \( BH \approx 1.9284 \, \text{cm} \)
- \( AH \approx 2.298 \, \text{cm} \)