Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông. Tam giác ABH vuông tại H, với AB = 3 cm và góc BAH = 40 độ. Chúng ta cần tính độ dài của BH và AH.

1. **Tính BH:**

Trong tam giác vuông ABH, ta có:
- AB là cạnh huyền.
- BH là cạnh đối diện với góc BAH.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[ \sin(\text{góc BAH}) = \frac{\text{cạnh đối diện}}{\text{cạnh huyền}} \]

Do đó:
\[ \sin(40^\circ) = \frac{BH}{AB} \]

Thay AB = 3 cm vào:
\[ \sin(40^\circ) = \frac{BH}{3} \]

Suy ra:
\[ BH = 3 \times \sin(40^\circ) \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\sin(40^\circ)\):
\[ \sin(40^\circ) \approx 0.6428 \]

Do đó:
\[ BH \approx 3 \times 0.6428 = 1.9284 \, \text{cm} \]

2. **Tính AH:**

Trong tam giác vuông ABH, ta có:
- AH là cạnh kề với góc BAH.

Sử dụng định lý cos trong tam giác vuông:
\[ \cos(\text{góc BAH}) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} \]

Do đó:
\[ \cos(40^\circ) = \frac{AH}{AB} \]

Thay AB = 3 cm vào:
\[ \cos(40^\circ) = \frac{AH}{3} \]

Suy ra:
\[ AH = 3 \times \cos(40^\circ) \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\cos(40^\circ)\):
\[ \cos(40^\circ) \approx 0.7660 \]

Do đó:
\[ AH \approx 3 \times 0.7660 = 2.298 \, \text{cm} \]

Vậy, độ dài của BH là khoảng 1.93 cm và độ dài của AH là khoảng 2.30 cm.