A) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

**Giải thích:**

- Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) lần lượt là các vector vị trí của các điểm \( A, B, C, D \).
- Trung điểm \( M \) của \( AB \) có vector vị trí là \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \).
- Trung điểm \( N \) của \( BC \) có vector vị trí là \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \).
- Trung điểm \( P \) của \( CD \) có vector vị trí là \( \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \).
- Trung điểm \( Q \) của \( DA \) có vector vị trí là \( \vec{Q} = \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2} \).

Ta cần chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình bình hành, tức là \( \vec{M} + \vec{P} = \vec{N} + \vec{Q} \).

- Tính \( \vec{M} + \vec{P} \):
\[
\vec{M} + \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

- Tính \( \vec{N} + \vec{Q} \):
\[
\vec{N} + \vec{Q} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{A}}{2}
\]

Như vậy, ta có:
\[
\vec{M} + \vec{P} = \vec{N} + \vec{Q}
\]

Điều này chứng tỏ rằng \( MNPQ \) là hình bình hành.

B) Điều kiện để tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông:

Để tứ giác \( MNPQ \) là hình vuông, nó phải là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \( ABCD \) là hình chữ nhật hoặc hình thoi.

**Giải thích:**

- Nếu \( ABCD \) là hình chữ nhật, thì các trung điểm của các cạnh sẽ tạo thành một hình vuông.
- Nếu \( ABCD \) là hình thoi, thì các trung điểm của các cạnh cũng sẽ tạo thành một hình vuông.

Vậy điều kiện để tứ giác \( ABCD \) để tứ giác \( MNPQ \) là hình vuông là \( ABCD \) phải là hình chữ nhật hoặc hình thoi.