Để chứng minh bất đẳng thức \(5^{27} < 2^{63} < 5^{28}\), chúng ta sẽ tính toán và so sánh các giá trị này.

### Bước 1: Tính \(5^{27}\)
Chúng ta có thể sử dụng logarit để tính toán gần đúng giá trị của \(5^{27}\).

\[
\log_{10}(5^{27}) = 27 \log_{10}(5)
\]

Biết rằng \(\log_{10}(5) \approx 0.6990\), ta có:

\[
27 \log_{10}(5) \approx 27 \times 0.6990 = 18.873
\]

Do đó:

\[
5^{27} \approx 10^{18.873}
\]

### Bước 2: Tính \(2^{63}\)
Tương tự, chúng ta sử dụng logarit để tính toán gần đúng giá trị của \(2^{63}\).

\[
\log_{10}(2^{63}) = 63 \log_{10}(2)
\]

Biết rằng \(\log_{10}(2) \approx 0.3010\), ta có:

\[
63 \log_{10}(2) \approx 63 \times 0.3010 = 18.963
\]

Do đó:

\[
2^{63} \approx 10^{18.963}
\]

### Bước 3: Tính \(5^{28}\)
Tiếp tục sử dụng logarit để tính toán gần đúng giá trị của \(5^{28}\).

\[
\log_{10}(5^{28}) = 28 \log_{10}(5)
\]

Biết rằng \(\log_{10}(5) \approx 0.6990\), ta có:

\[
28 \log_{10}(5) \approx 28 \times 0.6990 = 19.572
\]

Do đó:

\[
5^{28} \approx 10^{19.572}
\]

### So sánh các giá trị
Từ các kết quả trên, ta có:

\[
5^{27} \approx 10^{18.873}
\]
\[
2^{63} \approx 10^{18.963}
\]
\[
5^{28} \approx 10^{19.572}
\]

Rõ ràng là:

\[
10^{18.873} < 10^{18.963} < 10^{19.572}
\]

Do đó:

\[
5^{27} < 2^{63} < 5^{28}
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức \(5^{27} < 2^{63} < 5^{28}\).