Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 15 cm và AC = 20 cm. Để giải các bài toán liên quan, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### a. Tính độ dài AD

Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagoras:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]

Đường phân giác BD chia cạnh AC thành hai đoạn AD và DC sao cho:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \]

Gọi AD = x, DC = y. Ta có:
\[ x + y = AC = 20 \text{ cm} \]
\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \]

Từ đó, ta có:
\[ x = \frac{3}{4}y \]

Thay vào phương trình \( x + y = 20 \):
\[ \frac{3}{4}y + y = 20 \]
\[ \frac{7}{4}y = 20 \]
\[ y = \frac{20 \times 4}{7} = \frac{80}{7} \text{ cm} \]

Do đó:
\[ x = \frac{3}{4} \times \frac{80}{7} = \frac{240}{28} = \frac{60}{7} \text{ cm} \]

Vậy độ dài AD là:
\[ AD = \frac{60}{7} \text{ cm} \]

### b. Tính độ dài AH và HB

H là hình chiếu của A trên BC, tức là AH vuông góc với BC. Trong tam giác vuông, độ dài đường cao AH từ đỉnh góc vuông A đến cạnh huyền BC được tính bằng công thức:
\[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm} \]

Để tính độ dài HB, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB:
\[ HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \]

### c. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân

Gọi I là giao điểm của AH và BD. Ta cần chứng minh tam giác AID là tam giác cân.

- Đường phân giác BD chia tam giác ABC thành hai tam giác ABD và CBD có diện tích bằng nhau.
- AH là đường cao từ A đến BC, chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông AHB và AHC.

Do BD là đường phân giác, nên:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Vì AH là đường cao, nên I là trung điểm của đoạn AD trong tam giác vuông AHB và AHC. Do đó, AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHB và AHC.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:
\[ AI = \frac{AD}{2} \]

Vì AI là trung tuyến và cũng là đường cao, nên tam giác AID là tam giác cân tại I.

Vậy tam giác AID là tam giác cân tại I.