Để tìm số giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( P = \frac{2x - 1}{x - 3} \) nhận giá trị âm, ta cần giải bất phương trình:

\[ \frac{2x - 1}{x - 3} < 0 \]

Xét dấu của tử số và mẫu số của phân thức:

1. **Tử số \( 2x - 1 \):**
- \( 2x - 1 = 0 \) khi \( x = \frac{1}{2} \).
- \( 2x - 1 > 0 \) khi \( x > \frac{1}{2} \).
- \( 2x - 1 < 0 \) khi \( x < \frac{1}{2} \).

2. **Mẫu số \( x - 3 \):**
- \( x - 3 = 0 \) khi \( x = 3 \).
- \( x - 3 > 0 \) khi \( x > 3 \).
- \( x - 3 < 0 \) khi \( x < 3 \).

Để phân thức \( \frac{2x - 1}{x - 3} \) nhận giá trị âm, tử số và mẫu số phải trái dấu. Ta xét các trường hợp sau:

- **Trường hợp 1:** \( 2x - 1 > 0 \) và \( x - 3 < 0 \)
- \( 2x - 1 > 0 \) khi \( x > \frac{1}{2} \)
- \( x - 3 < 0 \) khi \( x < 3 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta có:
\[ \frac{1}{2} < x < 3 \]

Vì \( x \) là số nguyên, nên \( x \) có thể là 1 hoặc 2.

- **Trường hợp 2:** \( 2x - 1 < 0 \) và \( x - 3 > 0 \)
- \( 2x - 1 < 0 \) khi \( x < \frac{1}{2} \)
- \( x - 3 > 0 \) khi \( x > 3 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta thấy không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện này.

Tóm lại, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nhận giá trị âm là \( x = 1 \) và \( x = 2 \).

Vậy, có \(\boxed{2}\) giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P \) nhận giá trị âm.