Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{3}{y} - 2 = 2 \\
\frac{2}{x} - \frac{1}{2} - y = 1
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó tìm nghiệm chung của cả hai phương trình.

**Bước 1: Giải phương trình đầu tiên**

\[
\frac{1}{x} - \frac{3}{y} - 2 = 2
\]

Chuyển 2 sang vế phải:

\[
\frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 4
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai**

\[
\frac{2}{x} - \frac{1}{2} - y = 1
\]

Chuyển \(\frac{1}{2}\) và \(y\) sang vế phải:

\[
\frac{2}{x} - \frac{1}{2} = y + 1
\]

Chuyển \(1\) sang vế trái:

\[
\frac{2}{x} - \frac{1}{2} - 1 = y
\]

\[
\frac{2}{x} - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = y
\]

\[
\frac{2}{x} - \frac{3}{2} = y
\]

**Bước 3: Thay \(y\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên**

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
y = \frac{2}{x} - \frac{3}{2}
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
\frac{1}{x} - \frac{3}{\frac{2}{x} - \frac{3}{2}} = 4
\]

Để giải phương trình này, ta cần làm gọn biểu thức:

\[
\frac{1}{x} - \frac{3}{\frac{2 - \frac{3x}{2}}{x}} = 4
\]

\[
\frac{1}{x} - \frac{3x}{2 - \frac{3x}{2}} = 4
\]

Để đơn giản hóa, ta sẽ nhân cả hai vế với \(x\):

\[
1 - \frac{3x^2}{2 - \frac{3x}{2}} = 4x
\]

Phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp, vì vậy ta sẽ thử nghiệm các giá trị của \(x\) và \(y\) để tìm nghiệm phù hợp.

**Bước 4: Thử nghiệm các giá trị của \(x\) và \(y\)**

Giả sử \(x = 1\):

\[
y = \frac{2}{1} - \frac{3}{2} = 2 - 1.5 = 0.5
\]

Kiểm tra lại trong phương trình đầu tiên:

\[
\frac{1}{1} - \frac{3}{0.5} - 2 = 2
\]

\[
1 - 6 - 2 = 2
\]

Điều này không đúng, vì vậy \(x = 1\) không phải là nghiệm.

Giả sử \(x = 2\):

\[
y = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = 1 - 1.5 = -0.5
\]

Kiểm tra lại trong phương trình đầu tiên:

\[
\frac{1}{2} - \frac{3}{-0.5} - 2 = 2
\]

\[
0.5 + 6 - 2 = 2
\]

Điều này cũng không đúng.

Tiếp tục thử nghiệm các giá trị khác của \(x\) và \(y\) hoặc sử dụng phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến bằng công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm chính xác.

Tuy nhiên, do tính phức tạp của hệ phương trình này, việc giải bằng tay có thể gặp khó khăn và cần sử dụng các công cụ tính toán mạnh hơn như WolframAlpha hoặc phần mềm toán học để tìm nghiệm chính xác.