Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải hệ phương trình đó.

Gọi \( x \) là số chi tiết máy mà tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu tiên.
Gọi \( y \) là số chi tiết máy mà tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu tiên.

Theo đề bài, tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất được trong tháng đầu tiên là 800:
\[ x + y = 800 \]

Sang tháng thứ 2, tổ 1 vượt mức 15%, tức là sản xuất được \( x + 0.15x = 1.15x \) chi tiết máy.
Tổ 2 vượt mức 20%, tức là sản xuất được \( y + 0.20y = 1.20y \) chi tiết máy.

Tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất được trong tháng thứ 2 là 945:
\[ 1.15x + 1.20y = 945 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
1. \( x + y = 800 \)
2. \( 1.15x + 1.20y = 945 \)

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:
\[ y = 800 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[ 1.15x + 1.20(800 - x) = 945 \]
\[ 1.15x + 960 - 1.20x = 945 \]
\[ 1.15x - 1.20x = 945 - 960 \]
\[ -0.05x = -15 \]
\[ x = \frac{-15}{-0.05} \]
\[ x = 300 \]

Thay \( x = 300 \) vào phương trình (1):
\[ 300 + y = 800 \]
\[ y = 800 - 300 \]
\[ y = 500 \]

Vậy trong tháng đầu tiên, tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết máy và tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy.