Để chứng minh \( AD \parallel BC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và các cung tròn.

1. **Xét các cung tròn:**
- Cung tròn tâm \( A \) bán kính \( BC \) cắt cung tròn tâm \( C \) bán kính \( BA \) tại \( D \).

2. **Tính chất của các cung tròn:**
- Vì \( D \) nằm trên cung tròn tâm \( A \) bán kính \( BC \), nên \( AD = BC \).
- Vì \( D \) nằm trên cung tròn tâm \( C \) bán kính \( BA \), nên \( CD = BA \).

3. **Xét tam giác \( ABD \) và \( CBD \):**
- Trong tam giác \( ABD \):
- \( AD = BC \) (do \( D \) nằm trên cung tròn tâm \( A \) bán kính \( BC \)).
- Trong tam giác \( CBD \):
- \( CD = BA \) (do \( D \) nằm trên cung tròn tâm \( C \) bán kính \( BA \)).

4. **Xét tam giác \( ACD \):**
- Ta có \( AD = BC \) và \( CD = BA \).
- Do đó, tam giác \( ACD \) là tam giác cân tại \( D \) với \( AD = CD \).

5. **Góc đối đỉnh:**
- Xét góc \( \angle ADB \) và \( \angle DCB \):
- Vì \( AD = BC \) và \( CD = BA \), nên \( \angle ADB = \angle DCB \).

6. **Góc so le trong:**
- Xét góc \( \angle ADB \) và \( \angle DCB \):
- \( \angle ADB \) và \( \angle DCB \) là hai góc so le trong khi \( AD \) cắt \( BC \).

7. **Kết luận:**
- Vì \( \angle ADB = \angle DCB \) là hai góc so le trong bằng nhau, nên \( AD \parallel BC \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AD \parallel BC \).