Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) và \( b \) là các chữ số. Khi viết thêm chữ số 6 vào bên trái số này, ta được số \( 6\overline{ab} \).

Ta có:
\[ 6\overline{ab} = 600 + 10a + b \]

Theo đề bài, số \( 6\overline{ab} \) lớn hơn gấp 25 lần số \( \overline{ab} \):
\[ 600 + 10a + b = 25 \times (10a + b) \]

Giải phương trình này:
\[ 600 + 10a + b = 250a + 25b \]
\[ 600 = 240a + 24b \]
\[ 25a + 2.4b = 60 \]

Chuyển đổi phương trình để dễ giải:
\[ 25a + 2.4b = 60 \]
\[ 250a + 24b = 600 \]

Chúng ta cần tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho \( a \) và \( b \) là các chữ số (từ 0 đến 9). Thử các giá trị của \( a \) từ 1 đến 9 và kiểm tra xem \( b \) có phải là một chữ số hay không.

Thử \( a = 2 \):
\[ 250 \times 2 + 24b = 600 \]
\[ 500 + 24b = 600 \]
\[ 24b = 100 \]
\[ b = \frac{100}{24} \approx 4.1667 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 3 \):
\[ 250 \times 3 + 24b = 600 \]
\[ 750 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -150 \]
\[ b = \frac{-150}{24} \approx -6.25 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 1 \):
\[ 250 \times 1 + 24b = 600 \]
\[ 250 + 24b = 600 \]
\[ 24b = 350 \]
\[ b = \frac{350}{24} \approx 14.5833 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 4 \):
\[ 250 \times 4 + 24b = 600 \]
\[ 1000 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -400 \]
\[ b = \frac{-400}{24} \approx -16.6667 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 5 \):
\[ 250 \times 5 + 24b = 600 \]
\[ 1250 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -650 \]
\[ b = \frac{-650}{24} \approx -27.0833 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 6 \):
\[ 250 \times 6 + 24b = 600 \]
\[ 1500 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -900 \]
\[ b = \frac{-900}{24} \approx -37.5 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 7 \):
\[ 250 \times 7 + 24b = 600 \]
\[ 1750 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -1150 \]
\[ b = \frac{-1150}{24} \approx -47.9167 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 8 \):
\[ 250 \times 8 + 24b = 600 \]
\[ 2000 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -1400 \]
\[ b = \frac{-1400}{24} \approx -58.3333 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Thử \( a = 9 \):
\[ 250 \times 9 + 24b = 600 \]
\[ 2250 + 24b = 600 \]
\[ 24b = -1650 \]
\[ b = \frac{-1650}{24} \approx -68.75 \]

Giá trị này không phải là một chữ số nguyên.

Có vẻ như không có giá trị nào của \( a \) và \( b \) thỏa mãn điều kiện đề bài. Hãy kiểm tra lại các phép tính hoặc điều kiện đề bài để đảm bảo không có sai sót.