Để viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, ta sử dụng dạng phương trình \( y = mx \), trong đó \( m \) là hệ số góc của đường thẳng.

a) Đi qua điểm \( M(-2, 4) \):

Để tìm hệ số góc \( m \), ta sử dụng tọa độ của điểm \( M \):
\[ y = mx \]
\[ 4 = m(-2) \]
\[ m = -2 \]

Vậy phương trình đường thẳng là:
\[ y = -2x \]

b) Có hệ số góc \( m = -2 \):

Phương trình đường thẳng là:
\[ y = -2x \]

c) Song song với đường thẳng \( y = -3x + 1 \):

Đường thẳng song song có cùng hệ số góc \( m \):
\[ m = -3 \]

Vậy phương trình đường thẳng là:
\[ y = -3x \]

d) Vuông góc với đường thẳng \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \):

Đường thẳng vuông góc có hệ số góc \( m \) là nghịch đảo và đổi dấu của hệ số góc của đường thẳng ban đầu:
\[ m = -\left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \]

Vậy phương trình đường thẳng là:
\[ y = 2x \]