Cho tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường trung tuyến. Gọi \(HD, HE\) lần lượt là phân giác của góc \(AHB, AHC\) (với \(D, E\) lần lượt thuộc cạnh \(AB, AC\)).

### a) Chứng minh \(AD \cdot AC = AE \cdot AB\).

Vì \(HD\) là phân giác của góc \(AHB\), theo định lý phân giác ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AH}{HB}
\]

Tương tự, vì \(HE\) là phân giác của góc \(AHC\), ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AH}{HC}
\]

Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(HB = HC\). Do đó:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(DB = EC\). Do đó:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{DB}
\]

Từ đó suy ra:
\[
AD \cdot EC = AE \cdot DB
\]

Vì \(DB = EC\), ta có:
\[
AD \cdot AC = AE \cdot AB
\]

### b) Chứng minh \(DE \parallel BC\).

Xét tam giác \(AHB\) và tam giác \(AHC\), vì \(HD\) và \(HE\) lần lượt là phân giác của góc \(AHB\) và \(AHC\), ta có:
\[
\angle AHD = \angle DHE = \angle EHC
\]

Do đó, \(DE\) là đường thẳng nối hai điểm chia đôi hai góc kề \(H\) của tam giác \(AHB\) và \(AHC\). Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), nên \(DE\) song song với \(BC\).

### c) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để \(DE\) là đường trung bình của tam giác đó.

Để \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), \(DE\) phải song song với \(BC\) và \(DE\) phải bằng một nửa \(BC\).

Từ phần b, ta đã chứng minh \(DE \parallel BC\). Để \(DE\) bằng một nửa \(BC\), tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện là tam giác cân tại \(A\). Khi đó, \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(DE\) sẽ là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Vậy điều kiện cần thêm là tam giác \(ABC\) phải cân tại \(A\).