Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 21 cm, AC = 28 cm, phân giác AD (D thuộc BC).

a) Tính độ dài DB, DC.

Đầu tiên, ta tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \text{ cm} \]

Phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn DB và DC theo tỉ lệ của hai cạnh kề là AB và AC:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} \]

Gọi DB = x và DC = y. Ta có:
\[ x + y = 35 \]
\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \]

Từ \(\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\), ta có:
\[ 4x = 3y \]
\[ y = \frac{4}{3}x \]

Thay y vào phương trình \(x + y = 35\):
\[ x + \frac{4}{3}x = 35 \]
\[ \frac{7}{3}x = 35 \]
\[ x = \frac{35 \times 3}{7} = 15 \]

Vậy:
\[ DB = x = 15 \text{ cm} \]
\[ DC = y = 35 - 15 = 20 \text{ cm} \]

b) Đường thẳng qua D song song với BA cắt CA tại E. Tính độ dài ED.

Vì đường thẳng qua D song song với BA, nên DE song song với AB. Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp góc-góc (AA).

Tỉ lệ đồng dạng của hai tam giác là:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{AB} \]

Ta cần tính độ dài AD. Sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông ABC:
\[ AD = \sqrt{AB \cdot AC \left(1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{21 \cdot 28 \left(1 - \frac{35^2}{(21 + 28)^2}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{588 \left(1 - \frac{1225}{49^2}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{588 \left(1 - \frac{1225}{2401}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{588 \left(\frac{2401 - 1225}{2401}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{588 \left(\frac{1176}{2401}\right)} \]
\[ AD = \sqrt{\frac{588 \times 1176}{2401}} \]
\[ AD = \sqrt{\frac{691488}{2401}} \]
\[ AD = \sqrt{288} \]
\[ AD = 12\sqrt{2} \text{ cm} \]

Từ tỉ lệ đồng dạng:
\[ \frac{DE}{AB} = \frac{AD}{AC} \]
\[ DE = AB \cdot \frac{AD}{AC} \]
\[ DE = 21 \cdot \frac{12\sqrt{2}}{28} \]
\[ DE = 21 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{7} \]
\[ DE = 9\sqrt{2} \text{ cm} \]

Vậy độ dài ED là \(9\sqrt{2} \text{ cm}\).