Cho tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \). Đường thẳng \( d \) kẻ qua \( A \). Từ \( B \) và \( C \) kẻ \( BH \) và \( CE \) vuông góc với \( d \) (với \( H \) thuộc \( d \) và \( E \) thuộc \( d \)).

Ta cần chứng minh rằng \( BH^2 + CE^2 \) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \( d \).

Trước tiên, ta xét tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \). Giả sử \( AB = AC = a \). Khi đó, \( BC = a\sqrt{2} \).

Gọi \( A \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) có tọa độ \( (a, 0) \), và \( C \) có tọa độ \( (0, a) \).

Đường thẳng \( d \) qua \( A \) có phương trình dạng \( y = mx \).

Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( d \). Tọa độ của \( H \) là \( (x_H, mx_H) \).

Vì \( BH \) vuông góc với \( d \), ta có:
\[ BH \parallel y = -\frac{1}{m}x \]
Phương trình đường thẳng qua \( B \) và vuông góc với \( d \) là:
\[ y = -\frac{1}{m}(x - a) \]
Giao điểm của đường thẳng này với \( d \) là:
\[ mx = -\frac{1}{m}(x - a) \]
\[ m^2 x = -x + a \]
\[ x(m^2 + 1) = a \]
\[ x_H = \frac{a}{m^2 + 1} \]
\[ y_H = m x_H = \frac{am}{m^2 + 1} \]

Tọa độ của \( H \) là \( \left( \frac{a}{m^2 + 1}, \frac{am}{m^2 + 1} \right) \).

Tương tự, gọi \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( C \) lên \( d \). Tọa độ của \( E \) là \( (x_E, mx_E) \).

Vì \( CE \) vuông góc với \( d \), ta có:
\[ CE \parallel y = -\frac{1}{m}x + a \]
Phương trình đường thẳng qua \( C \) và vuông góc với \( d \) là:
\[ y = -\frac{1}{m}x + a \]
Giao điểm của đường thẳng này với \( d \) là:
\[ mx = -\frac{1}{m}x + a \]
\[ m^2 x = -x + a \]
\[ x(m^2 + 1) = a \]
\[ x_E = \frac{a}{m^2 + 1} \]
\[ y_E = m x_E = \frac{am}{m^2 + 1} \]

Tọa độ của \( E \) là \( \left( \frac{a}{m^2 + 1}, \frac{am}{m^2 + 1} \right) \).

Ta có:
\[ BH = \sqrt{(a - x_H)^2 + (0 - y_H)^2} = \sqrt{\left(a - \frac{a}{m^2 + 1}\right)^2 + \left(0 - \frac{am}{m^2 + 1}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\left(\frac{am^2}{m^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{-am}{m^2 + 1}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\frac{a^2 m^4}{(m^2 + 1)^2} + \frac{a^2 m^2}{(m^2 + 1)^2}} \]
\[ = \sqrt{\frac{a^2 m^2 (m^2 + 1)}{(m^2 + 1)^2}} \]
\[ = \frac{am \sqrt{m^2 + 1}}{m^2 + 1} \]
\[ = \frac{am}{\sqrt{m^2 + 1}} \]

Tương tự:
\[ CE = \sqrt{(0 - x_E)^2 + (a - y_E)^2} = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{m^2 + 1}\right)^2 + \left(a - \frac{am}{m^2 + 1}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\left(\frac{-a}{m^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{a(m^2 + 1 - m)}{m^2 + 1}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\frac{a^2}{(m^2 + 1)^2} + \frac{a^2 (m^2 - m + 1)^2}{(m^2 + 1)^2}} \]
\[ = \sqrt{\frac{a^2 (1 + m^2 - m + 1)}{(m^2 + 1)^2}} \]
\[ = \sqrt{\frac{a^2 (m^2 + 1)}{(m^2 + 1)^2}} \]
\[ = \frac{a \sqrt{m^2 + 1}}{m^2 + 1} \]
\[ = \frac{a}{\sqrt{m^2 + 1}} \]

Tổng bình phương:
\[ BH^2 + CE^2 = \left( \frac{am}{\sqrt{m^2 + 1}} \right)^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{m^2 + 1}} \right)^2 \]
\[ = \frac{a^2 m^2}{m^2 + 1} + \frac{a^2}{m^2 + 1} \]
\[ = \frac{a^2 (m^2 + 1)}{m^2 + 1} \]
\[ = a^2 \]

Vậy \( BH^2 + CE^2 = a^2 \), không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \( d \).