Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các góc đã cho.

1. **Xác định các góc trong tam giác:**
- Tam giác ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB.
- Góc BAC = 30 độ.
- Tổng các góc trong tam giác ABC là 180 độ, do đó:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
\]
Vì \(\angle ABC = \angle ACB\), ta có:
\[
2\angle ABC + 30^\circ = 180^\circ \implies 2\angle ABC = 150^\circ \implies \angle ABC = 75^\circ
\]
Vậy \(\angle ABC = \angle ACB = 75^\circ\).

2. **Xác định các góc trong tam giác ABD:**
- Góc CBD = 60 độ.
- Vì \(\angle ABC = 75^\circ\), ta có:
\[
\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ
\]

3. **Sử dụng định lý Sin trong tam giác ABD:**
- Xét tam giác ABD, ta có:
\[
\angle BAD = 30^\circ, \quad \angle ABD = 15^\circ, \quad \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ
\]
- Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABD:
\[
\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}
\]
Ta có:
\[
\frac{AD}{\sin(15^\circ)} = \frac{BD}{\sin(30^\circ)}
\]
Biết rằng \(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) và \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có:
\[
\frac{AD}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{BD}{\frac{1}{2}} \implies AD = BD \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = BD \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
\]

4. **Tính độ dài BD:**
- Trong tam giác BCD, ta có \(\angle BCD = 45^\circ\) (vì \(\angle ACB = 75^\circ\) và \(\angle DCB = 30^\circ\)).
- Áp dụng định lý Sin trong tam giác BCD:
\[
\frac{BD}{\sin(45^\circ)} = \frac{BC}{\sin(60^\circ)}
\]
Biết rằng \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có:
\[
\frac{BD}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \implies BD = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

5. **Tính độ dài AD:**
- Thay BD vào công thức tính AD:
\[
AD = BD \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \left( a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
\]
\[
AD = a \cdot \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6} = a \cdot \frac{6 - \sqrt{12}}{6} = a \cdot \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6} = a \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
\]
\[
AD = a \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = a \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}
\]

Vậy độ dài \(AD\) là:
\[
AD = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{3}
\]