Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \) và điểm \( D \) nằm giữa \( A \) và \( H \). Trên tia đối của tia \( HA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( HE = AD \). Đường thẳng vuông góc với \( AH \) tại \( D \) cắt \( AC \) tại \( F \). Chứng minh rằng \( EB \) vuông góc với \( EF \).

Để chứng minh \( EB \) vuông góc với \( EF \), ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác vuông và các đường vuông góc.

1. **Xét tam giác \( AHD \):**
- \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( D \) nằm giữa \( A \) và \( H \), nên \( AD \) là một đoạn thẳng trên \( AH \).

2. **Xét điểm \( E \):**
- \( E \) nằm trên tia đối của tia \( HA \) và \( HE = AD \).
- Do đó, \( E \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( AH \) về phía ngược lại của \( A \).

3. **Xét đường thẳng vuông góc với \( AH \) tại \( D \):**
- Đường thẳng này cắt \( AC \) tại \( F \), nên \( DF \) vuông góc với \( AH \).

4. **Chứng minh \( EB \) vuông góc với \( EF \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle EBF = 90^\circ \).

5. **Xét tam giác \( ADE \):**
- \( AD = HE \) (theo giả thiết).
- \( \angle ADE = 180^\circ - \angle HDA \) (do \( E \) nằm trên tia đối của tia \( HA \)).

6. **Xét tam giác \( ADF \):**
- \( DF \) vuông góc với \( AH \) tại \( D \), nên \( \angle ADF = 90^\circ \).

7. **Xét tam giác \( EBF \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle EBF = 90^\circ \).

8. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Do \( HE = AD \) và \( E \) nằm trên tia đối của tia \( HA \), nên \( E \) là ảnh của \( D \) qua phép đối xứng qua điểm \( H \).
- Do đó, \( E \) và \( D \) đối xứng nhau qua \( H \).

9. **Xét tam giác \( EBF \):**
- \( DF \) vuông góc với \( AH \) tại \( D \).
- \( E \) đối xứng với \( D \) qua \( H \), nên \( EF \) cũng vuông góc với \( AH \) tại \( E \).

10. **Kết luận:**
- Vì \( DF \) vuông góc với \( AH \) và \( EF \) cũng vuông góc với \( AH \), nên \( DF \parallel EF \).
- Do đó, \( \angle EBF = 90^\circ \).

Vậy, \( EB \) vuông góc với \( EF \).