Để chứng minh rằng số \( A = \frac{17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}}}{2} \) là một số tự nhiên chia hết cho 5, chúng ta cần phân tích các thành phần của biểu thức và sử dụng các định lý số học liên quan.

### Bước 1: Phân tích \( 17^{2014^{2016}} \mod 5 \)

Theo định lý Fermat nhỏ, với \( a \) là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố \( p \), ta có:
\[ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \]

Ở đây, \( p = 5 \) và \( a = 17 \). Vì 17 không chia hết cho 5, ta có:
\[ 17^4 \equiv 1 \mod 5 \]

Do đó, ta cần tìm \( 2014^{2016} \mod 4 \) để xác định \( 17^{2014^{2016}} \mod 5 \).

### Bước 2: Tính \( 2014^{2016} \mod 4 \)

Ta nhận thấy rằng:
\[ 2014 \equiv 2 \mod 4 \]

Do đó:
\[ 2014^{2016} \equiv 2^{2016} \mod 4 \]

Vì \( 2^2 = 4 \equiv 0 \mod 4 \), nên:
\[ 2^{2016} \equiv 0 \mod 4 \]

Vậy:
\[ 2014^{2016} \equiv 0 \mod 4 \]

### Bước 3: Tính \( 17^{2014^{2016}} \mod 5 \)

Từ kết quả trên, ta có:
\[ 17^{2014^{2016}} \equiv 17^0 \equiv 1 \mod 5 \]

### Bước 4: Phân tích \( 3^{96^{97}} \mod 5 \)

Tương tự, ta sử dụng định lý Fermat nhỏ:
\[ 3^4 \equiv 1 \mod 5 \]

Do đó, ta cần tìm \( 96^{97} \mod 4 \) để xác định \( 3^{96^{97}} \mod 5 \).

### Bước 5: Tính \( 96^{97} \mod 4 \)

Ta nhận thấy rằng:
\[ 96 \equiv 0 \mod 4 \]

Do đó:
\[ 96^{97} \equiv 0 \mod 4 \]

### Bước 6: Tính \( 3^{96^{97}} \mod 5 \)

Từ kết quả trên, ta có:
\[ 3^{96^{97}} \equiv 3^0 \equiv 1 \mod 5 \]

### Bước 7: Kết hợp các kết quả

Ta có:
\[ 17^{2014^{2016}} \equiv 1 \mod 5 \]
\[ 3^{96^{97}} \equiv 1 \mod 5 \]

Do đó:
\[ 17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5 \]

Điều này có nghĩa là \( 17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}} \) chia hết cho 5.

### Bước 8: Xét \( \frac{17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}}}{2} \)

Vì \( 17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}} \) chia hết cho 5, nên \( \frac{17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}}}{2} \) cũng là một số nguyên chia hết cho 5.

Vậy, số \( A = \frac{17^{2014^{2016}} - 3^{96^{97}}}{2} \) là một số tự nhiên chia hết cho 5.