Để giải phương trình \(4x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0\), chúng ta có thể thử các phương pháp khác nhau như phân tích đa thức, sử dụng định lý về nghiệm của đa thức, hoặc các phương pháp số học như phương pháp Newton-Raphson. Dưới đây là cách phân tích đa thức:

1. **Tìm nghiệm nguyên bằng cách thử các ước của hệ số tự do:**

Phương trình của chúng ta là \(4x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0\). Các ước của hệ số tự do (8) là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Chúng ta sẽ thử các giá trị này để tìm nghiệm.

- Thử \(x = 1\):
\[
4(1)^3 + 6(1)^2 - 12(1) + 8 = 4 + 6 - 12 + 8 = 6 \neq 0
\]
- Thử \(x = -1\):
\[
4(-1)^3 + 6(-1)^2 - 12(-1) + 8 = -4 + 6 + 12 + 8 = 22 \neq 0
\]
- Thử \(x = 2\):
\[
4(2)^3 + 6(2)^2 - 12(2) + 8 = 32 + 24 - 24 + 8 = 40 \neq 0
\]
- Thử \(x = -2\):
\[
4(-2)^3 + 6(-2)^2 - 12(-2) + 8 = -32 + 24 + 24 + 8 = 24 \neq 0
\]

Không có nghiệm nguyên nào trong các giá trị đã thử. Chúng ta sẽ thử nghiệm khác.

2. **Sử dụng phương pháp chia đa thức:**

Chúng ta có thể thử nghiệm nghiệm phân số hoặc sử dụng phương pháp chia đa thức để tìm nghiệm.

Để đơn giản, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia Horner để kiểm tra các nghiệm phân số.

- Thử \(x = \frac{1}{2}\):
\[
4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} + 8 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 6 + 8 = 4 \neq 0
\]

- Thử \(x = -\frac{1}{2}\):
\[
4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 6\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 12\left(-\frac{1}{2}\right) + 8 = 4 \cdot -\frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 6 + 8 = 14 \neq 0
\]

Không có nghiệm phân số nào trong các giá trị đã thử. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp số học.

3. **Sử dụng phương pháp Newton-Raphson:**

Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp số học để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Công thức của phương pháp này là:
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
Với \(f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 12x + 8\) và \(f'(x) = 12x^2 + 12x - 12\).

Chọn giá trị ban đầu \(x_0\) và lặp lại công thức trên cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn.

Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu tính toán phức tạp và thường được thực hiện bằng phần mềm máy tính.

Tóm lại, phương trình \(4x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0\) không có nghiệm nguyên đơn giản và cần sử dụng các phương pháp số học hoặc phần mềm máy tính để tìm nghiệm gần đúng.