Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến tứ giác ABCD, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác và một số tính chất cơ bản của tứ giác.

### Phần a: Nửa chu vi tứ giác ABCD nhỏ hơn tổng độ dài 2 đường chéo

Giả sử tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, CD, và DA, và các đường chéo AC và BD. Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{AB + BC + CD + DA}{2} < AC + BD
\]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác trong các tam giác được tạo bởi các đường chéo.

Xét tam giác ABD, ta có:

\[
AB + BD > AD
\]

Xét tam giác BCD, ta có:

\[
BC + CD > BD
\]

Xét tam giác ACD, ta có:

\[
AC + CD > AD
\]

Xét tam giác ABC, ta có:

\[
AB + BC > AC
\]

Bây giờ, cộng các bất đẳng thức trên lại:

\[
(AB + BD) + (BC + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BD + AD + AC
\]

Rút gọn và sắp xếp lại:

\[
2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
AB + BC + CD + DA > AC + BD
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AB + BC + CD + DA}{2} < AC + BD
\]

### Phần b: Tổng độ dài 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác ABCD

Ta cần chứng minh rằng:

\[
AC + BD < AB + BC + CD + DA
\]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác trong các tam giác được tạo bởi các đường chéo.

Xét tam giác ABD, ta có:

\[
AB + BD > AD
\]

Xét tam giác BCD, ta có:

\[
BC + CD > BD
\]

Xét tam giác ACD, ta có:

\[
AC + CD > AD
\]

Xét tam giác ABC, ta có:

\[
AB + BC > AC
\]

Bây giờ, cộng các bất đẳng thức trên lại:

\[
(AB + BD) + (BC + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BD + AD + AC
\]

Rút gọn và sắp xếp lại:

\[
2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
AB + BC + CD + DA > AC + BD
\]

Do đó, ta có:

\[
AC + BD < AB + BC + CD + DA
\]

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a và b.