Để chứng minh rằng \(\angle ADC = 2 \times \angle BCD\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tứ giác và các đường phân giác.

Giả sử \(\angle BCD = x\) và \(\angle CDA = y\). Theo đề bài, ta có:

\[
\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ
\]

Do đó, tứ giác \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp. Điều này có nghĩa là các góc đối diện của tứ giác cộng lại bằng \(180^\circ\):

\[
\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ
\]

Và:

\[
\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ
\]

Gọi \(E\) là giao điểm của các đường phân giác của \(\angle BCD\) và \(\angle CDA\). Theo tính chất của đường phân giác, ta có:

\[
\angle BCE = \angle ECD = \frac{x}{2}
\]

\[
\angle CDE = \angle EDA = \frac{y}{2}
\]

Theo đề bài, \(CD = 2DE\). Do đó, tam giác \(CDE\) là tam giác cân tại \(D\) với \(CD = 2DE\). Điều này có nghĩa là:

\[
\angle EDC = \angle ECD = \frac{x}{2}
\]

Vì \(E\) nằm trên đường phân giác của \(\angle CDA\), ta có:

\[
\angle ADE = \angle EDA = \frac{y}{2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
\angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = \frac{y}{2} + \frac{x}{2}
\]

Do \(CD = 2DE\), tam giác \(CDE\) là tam giác cân tại \(D\), nên:

\[
\angle CDE = \angle ECD = \frac{x}{2}
\]

Vì vậy, tổng các góc trong tam giác \(CDE\) là:

\[
\angle CDE + \angle ECD + \angle EDC = 180^\circ
\]

\[
\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 180^\circ
\]

\[
x + \frac{y}{2} = 180^\circ
\]

Do đó:

\[
y = 180^\circ - x
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\angle ADC = \frac{y}{2} + \frac{x}{2} = \frac{180^\circ - x}{2} + \frac{x}{2} = 90^\circ
\]

Do đó:

\[
\angle ADC = 2 \times \angle BCD
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\angle ADC = 2 \times \angle BCD\).