Để chứng minh đẳng thức \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( AC \) vuông góc với \( BD \), ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và một số tính chất hình học cơ bản.

Giả sử \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \).

Xét các tam giác vuông \( \triangle AOB \), \( \triangle COD \), \( \triangle AOD \), và \( \triangle BOC \):

1. Trong tam giác vuông \( \triangle AOB \):
\[
AB^2 = AO^2 + BO^2
\]

2. Trong tam giác vuông \( \triangle COD \):
\[
CD^2 = CO^2 + DO^2
\]

3. Trong tam giác vuông \( \triangle AOD \):
\[
AD^2 = AO^2 + DO^2
\]

4. Trong tam giác vuông \( \triangle BOC \):
\[
BC^2 = BO^2 + CO^2
\]

Bây giờ, ta cộng các đẳng thức từ tam giác \( \triangle AOB \) và \( \triangle COD \):
\[
AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)
\]

Tiếp theo, ta cộng các đẳng thức từ tam giác \( \triangle AOD \) và \( \triangle BOC \):
\[
AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2)
\]

Ta thấy rằng:
\[
AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)
\]
và
\[
AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2)
\]

Do đó:
\[
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( AC \) vuông góc với \( BD \).