Để viết biểu thức \(4x^4y^8 + (x^2y^4)^4 + 4\) dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu, chúng ta cần nhận ra rằng biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng một hằng đẳng thức quen thuộc.

Trước hết, ta nhận thấy rằng \( (x^2y^4)^4 = x^8y^{16} \).

Do đó, biểu thức ban đầu có thể viết lại như sau:
\[ 4x^4y^8 + x^8y^{16} + 4 \]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem biểu thức này có thể được viết dưới dạng hằng đẳng thức \( (a + b)^2 \) hoặc \( (a - b)^2 \) hay không.

Ta biết rằng:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
và
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Ta cần tìm \(a\) và \(b\) sao cho:
\[ a^2 + 2ab + b^2 = 4x^4y^8 + x^8y^{16} + 4 \]

Nhìn vào biểu thức, ta có thể thử:
\[ a = x^4y^8 \]
\[ b = 2 \]

Kiểm tra lại:
\[ (x^4y^8 + 2)^2 = (x^4y^8)^2 + 2 \cdot x^4y^8 \cdot 2 + 2^2 \]
\[ = x^8y^{16} + 4x^4y^8 + 4 \]

Đúng với biểu thức ban đầu. Vậy, biểu thức có thể viết lại dưới dạng bình phương của một tổng như sau:
\[ 4x^4y^8 + (x^2y^4)^4 + 4 = (x^4y^8 + 2)^2 \]