Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Xác định tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi mẫu số khác 0:
\[ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \]
Vậy tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

### 2. Tìm các điểm đặc biệt
- **Điểm giao với trục hoành (y = 0):**
\[ \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 5 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \]
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{2} \]
Vậy các điểm giao với trục hoành là \( (1, 0) \) và \( \left( -\frac{5}{2}, 0 \right) \).

- **Điểm giao với trục tung (x = 0):**
\[ y = \frac{2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 5}{0 + 2} = \frac{-5}{2} = -2.5 \]
Vậy điểm giao với trục tung là \( (0, -2.5) \).

### 3. Tìm tiệm cận
- **Tiệm cận đứng:**
\[ x = -2 \]

- **Tiệm cận ngang:**
Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} \approx \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} 2x = \infty \]
Hàm số không có tiệm cận ngang, nhưng có thể có tiệm cận xiên.

- **Tiệm cận xiên:**
Chia đa thức:
\[ \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} = 2x - 1 + \frac{-3}{x + 2} \]
Khi \( x \to \pm \infty \), \(\frac{-3}{x + 2} \to 0\), do đó:
\[ y \approx 2x - 1 \]
Vậy tiệm cận xiên là \( y = 2x - 1 \).

### 4. Khảo sát đạo hàm
- **Đạo hàm của hàm số:**
\[ y' = \frac{(2x^2 + 3x - 5)'(x + 2) - (2x^2 + 3x - 5)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \]
\[ y' = \frac{(4x + 3)(x + 2) - (2x^2 + 3x - 5)}{(x + 2)^2} \]
\[ y' = \frac{4x^2 + 8x + 3x + 6 - 2x^2 - 3x + 5}{(x + 2)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^2 + 8x + 11}{(x + 2)^2} \]

### 5. Vẽ đồ thị
- Vẽ các điểm đặc biệt: \( (1, 0) \), \( \left( -\frac{5}{2}, 0 \right) \), \( (0, -2.5) \).
- Vẽ tiệm cận đứng \( x = -2 \).
- Vẽ tiệm cận xiên \( y = 2x - 1 \).
- Xác định chiều biến thiên của hàm số dựa trên đạo hàm.

### 6. Kết luận
Đồ thị hàm số có dạng hyperbolic với tiệm cận đứng tại \( x = -2 \) và tiệm cận xiên \( y = 2x - 1 \). Đồ thị sẽ cắt trục hoành tại \( (1, 0) \) và \( \left( -\frac{5}{2}, 0 \right) \), và cắt trục tung tại \( (0, -2.5) \).

Bạn có thể sử dụng phần mềm đồ họa hoặc vẽ tay để hoàn thiện đồ thị dựa trên các thông tin đã khảo sát.