Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( C = 9x^2 + 2x - 3 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thành bình phương.

### Phương pháp đạo hàm

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( C \):**
\[
C'(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 + 2x - 3) = 18x + 2
\]

2. **Tìm giá trị \( x \) tại đó đạo hàm bằng 0:**
\[
18x + 2 = 0 \implies 18x = -2 \implies x = -\frac{1}{9}
\]

3. **Kiểm tra giá trị nhỏ nhất bằng cách thay \( x = -\frac{1}{9} \) vào hàm số \( C \):**
\[
C\left(-\frac{1}{9}\right) = 9\left(-\frac{1}{9}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{9}\right) - 3
\]
\[
= 9 \cdot \frac{1}{81} - \frac{2}{9} - 3
\]
\[
= \frac{9}{81} - \frac{2}{9} - 3
\]
\[
= \frac{1}{9} - \frac{2}{9} - 3
\]
\[
= -\frac{1}{9} - 3
\]
\[
= -\frac{1}{9} - \frac{27}{9}
\]
\[
= -\frac{28}{9}
\]

### Phương pháp hoàn thành bình phương

1. **Viết lại hàm số dưới dạng bình phương:**
\[
C = 9x^2 + 2x - 3
\]
\[
= 9\left(x^2 + \frac{2}{9}x\right) - 3
\]
\[
= 9\left(x^2 + \frac{2}{9}x + \left(\frac{1}{9}\right)^2 - \left(\frac{1}{9}\right)^2\right) - 3
\]
\[
= 9\left(\left(x + \frac{1}{9}\right)^2 - \frac{1}{81}\right) - 3
\]
\[
= 9\left(x + \frac{1}{9}\right)^2 - 9 \cdot \frac{1}{81} - 3
\]
\[
= 9\left(x + \frac{1}{9}\right)^2 - \frac{1}{9} - 3
\]
\[
= 9\left(x + \frac{1}{9}\right)^2 - \frac{28}{9}
\]

2. **Giá trị nhỏ nhất của \( C \) xảy ra khi \( \left(x + \frac{1}{9}\right)^2 = 0 \), tức là \( x = -\frac{1}{9} \):**
\[
C_{\text{min}} = -\frac{28}{9}
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( C = 9x^2 + 2x - 3 \) là \( -\frac{28}{9} \).