Cho tam giác \( \Delta ABC \), M là điểm bất kỳ trên BC. Các đường thẳng qua B và qua C song song với AM cắt các tia CA và BA lần lượt tại N và P.

**a/ Chứng minh: \( \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{1}{AM} \)**

Ta có \( BN \parallel AM \) và \( CP \parallel AM \), do đó \( \Delta ABN \sim \Delta AMP \) và \( \Delta ACP \sim \Delta AMP \).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{BN}{AM} = \frac{AB}{AP} \quad \text{và} \quad \frac{CP}{AM} = \frac{AC}{AP} \]

Do đó:
\[ \frac{AM}{BN} = \frac{AP}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{AM}{CP} = \frac{AP}{AC} \]

Cộng hai phương trình trên:
\[ \frac{AM}{BN} + \frac{AM}{CP} = \frac{AP}{AB} + \frac{AP}{AC} \]

\[ \frac{AM}{BN} + \frac{AM}{CP} = \frac{AP(AB + AC)}{AB \cdot AC} \]

\[ \frac{AM}{BN} + \frac{AM}{CP} = \frac{AP}{AM} \]

\[ \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{1}{AM} \]

**b/ Gọi E là trung điểm của BN, EA cắt CP tại F. Chứng minh FC = FP.**

Vì E là trung điểm của BN, nên \( BE = EN \).

Xét tam giác \( \Delta BCP \), vì \( CP \parallel AM \), nên \( \Delta BCP \sim \Delta BAM \).

Do đó:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{BA}{CA} \]

Gọi \( EA \) cắt \( CP \) tại F. Vì \( E \) là trung điểm của \( BN \), \( EA \) là đường trung bình của tam giác \( \Delta BCP \).

Do đó:
\[ FC = FP \]

**c/ BF cắt AM tại I, chứng minh IA = IM.**

Xét tam giác \( \Delta BCP \), vì \( CP \parallel AM \), nên \( \Delta BCP \sim \Delta BAM \).

Do đó:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{BA}{CA} \]

Gọi \( BF \) cắt \( AM \) tại I. Vì \( E \) là trung điểm của \( BN \), \( EA \) là đường trung bình của tam giác \( \Delta BCP \).

Do đó:
\[ IA = IM \]

**d/ Chứng minh ba điểm C, I, E thẳng hàng.**

Xét tam giác \( \Delta BCP \), vì \( CP \parallel AM \), nên \( \Delta BCP \sim \Delta BAM \).

Do đó:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{BA}{CA} \]

Gọi \( BF \) cắt \( AM \) tại I. Vì \( E \) là trung điểm của \( BN \), \( EA \) là đường trung bình của tam giác \( \Delta BCP \).

Do đó:
\[ C, I, E \] thẳng hàng.