Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} \) với \( 0 < x < 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị.

Trước tiên, ta tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \):

\[ P = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} \]

Đạo hàm của \( P \) là:

\[ P' = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{(1-x)^2} \]

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( P' = 0 \):

\[ -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{(1-x)^2} = 0 \]

Chuyển vế và nhân cả hai vế với \( x^2(1-x)^2 \):

\[ - (1-x)^2 + 2x^2 = 0 \]

\[ - (1 - 2x + x^2) + 2x^2 = 0 \]

\[ -1 + 2x - x^2 + 2x^2 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{2} \]

Vì \( 0 < x < 1 \), ta chọn nghiệm \( x = \sqrt{2} - 1 \).

Bây giờ, ta tính giá trị của \( P \) tại \( x = \sqrt{2} - 1 \):

\[ P = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{2}{1 - (\sqrt{2} - 1)} \]

\[ P = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \]

Rationalize the denominators:

\[ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \]

\[ \frac{2}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 2(2 + \sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2} \]

Do đó:

\[ P = (\sqrt{2} + 1) + (4 + 2\sqrt{2}) \]

\[ P = 5 + 3\sqrt{2} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 5 + 3\sqrt{2} \).