Phương trình \( f(x) = x \) có nghiệm đi qua gốc tọa độ và có 1 nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu \( f(x) \) là một hàm số liên tục và đơn điệu (tức là hoặc luôn tăng hoặc luôn giảm) trên toàn bộ miền xác định của nó.

Để giải thích rõ hơn:

1. **Đi qua gốc tọa độ**: Điều này có nghĩa là \( f(0) = 0 \).

2. **Có 1 nghiệm duy nhất**: Điều này có nghĩa là phương trình \( f(x) = x \) chỉ có một giá trị \( x \) duy nhất thỏa mãn điều kiện này.

Nếu \( f(x) \) là một hàm số liên tục và đơn điệu, thì phương trình \( f(x) = x \) sẽ có một nghiệm duy nhất. Điều này là do tính chất của hàm số liên tục và đơn điệu đảm bảo rằng đồ thị của hàm số sẽ cắt đường thẳng \( y = x \) tại một và chỉ một điểm.

Ví dụ:
- Nếu \( f(x) \) là một hàm số tuyến tính có dạng \( f(x) = ax \) với \( a \neq 1 \), thì phương trình \( f(x) = x \) sẽ có nghiệm duy nhất là \( x = 0 \) (vì \( ax = x \) dẫn đến \( (a-1)x = 0 \)).
- Nếu \( f(x) = x^2 \), thì phương trình \( f(x) = x \) có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 1 \), do đó không thỏa mãn điều kiện có một nghiệm duy nhất.

Tóm lại, để phương trình \( f(x) = x \) có nghiệm đi qua gốc tọa độ và có một nghiệm duy nhất, hàm số \( f(x) \) cần phải thỏa mãn các điều kiện liên tục và đơn điệu.