Để xác định công thức hóa học của oxit sắt \( \text{Fe}_x\text{O}_y \) và tính thể tích \( V \) của khí CO cần dùng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định khí X:**

Khí X được tạo ra từ phản ứng khử oxit sắt bằng CO. Tỷ khối của khí X so với H\(_2\) là 20,4. Ta có:
\[
\text{M}_X = 20,4 \times 2 = 40,8 \, \text{g/mol}
\]
Khí X có thể là hỗn hợp của CO\(_2\) và CO. Giả sử hỗn hợp này có \( n_1 \) mol CO\(_2\) và \( n_2 \) mol CO.

2. **Phản ứng của khí X với Ba(OH)\(_2\):**

Khi dẫn khí X vào dung dịch Ba(OH)\(_2\), chỉ có CO\(_2\) phản ứng tạo kết tủa BaCO\(_3\):
\[
\text{CO}_2 + \text{Ba(OH)}_2 \rightarrow \text{BaCO}_3 + \text{H}_2\text{O}
\]
Khối lượng kết tủa BaCO\(_3\) là 15,76 g. Khối lượng mol của BaCO\(_3\) là:
\[
\text{M}_{\text{BaCO}_3} = 137 + 12 + 3 \times 16 = 197 \, \text{g/mol}
\]
Số mol BaCO\(_3\) tạo thành:
\[
n_{\text{BaCO}_3} = \frac{15,76}{197} \approx 0,08 \, \text{mol}
\]
Vậy số mol CO\(_2\) trong khí X là 0,08 mol.

3. **Tính số mol CO trong khí X:**

Tổng số mol khí X:
\[
n_{\text{X}} = n_{\text{CO}_2} + n_{\text{CO}} = 0,08 + n_{\text{CO}}
\]
Khối lượng mol trung bình của khí X là 40,8 g/mol:
\[
\frac{0,08 \times 44 + n_{\text{CO}} \times 28}{0,08 + n_{\text{CO}}} = 40,8
\]
Giải phương trình này để tìm \( n_{\text{CO}} \):
\[
0,08 \times 44 + 28n_{\text{CO}} = 40,8 \times (0,08 + n_{\text{CO}})
\]
\[
3,52 + 28n_{\text{CO}} = 3,264 + 40,8n_{\text{CO}}
\]
\[
0,256 = 12,8n_{\text{CO}}
\]
\[
n_{\text{CO}} = \frac{0,256}{12,8} = 0,02 \, \text{mol}
\]
Vậy tổng số mol khí X là:
\[
n_{\text{X}} = 0,08 + 0,02 = 0,1 \, \text{mol}
\]

4. **Phản ứng khử oxit sắt:**

Phản ứng khử oxit sắt bằng CO:
\[
\text{FexOy} + y\text{CO} \rightarrow x\text{Fe} + y\text{CO}_2
\]
Số mol CO đã dùng:
\[
n_{\text{CO}} = y \times n_{\text{FexOy}}
\]
Số mol CO\(_2\) sinh ra:
\[
n_{\text{CO}_2} = y \times n_{\text{FexOy}}
\]
Tổng số mol CO và CO\(_2\) là 0,1 mol. Do đó:
\[
y \times n_{\text{FexOy}} + y \times n_{\text{FexOy}} = 0,1
\]
\[
2y \times n_{\text{FexOy}} = 0,1
\]
\[
y \times n_{\text{FexOy}} = 0,05
\]

5. **Khối lượng oxit sắt:**

Khối lượng oxit sắt là 5,76 g:
\[
n_{\text{FexOy}} = \frac{5,76}{M_{\text{FexOy}}}
\]
\[
y \times \frac{5,76}{M_{\text{FexOy}}} = 0,05
\]
\[
M_{\text{FexOy}} = \frac{5,76 \times y}{0,05}
\]

6. **Xác định công thức oxit sắt:**

Giả sử \( \text{Fe}_2\text{O}_3 \):
\[
M_{\text{Fe}_2\text{O}_3} = 2 \times 56 + 3 \times 16 = 160 \, \text{g/mol}
\]
\[
n_{\text{Fe}_2\text{O}_3} = \frac{5,76}{160} = 0,036 \, \text{mol}
\]
\[
y = 3 \rightarrow 3 \times 0,036 = 0,108 \, \text{mol}
\]
Không phù hợp.

Giả sử \( \text{Fe}_3\text{O}_4 \):
\[
M_{\text{Fe}_3\text{O}_4} = 3 \times 56 + 4 \times 16 = 232 \, \text{g/mol}
\]
\[
n_{\text{Fe}_3\text{O}_4} = \frac{5,76}{232} = 0,025 \, \text{mol}
\]
\[
y = 4 \rightarrow 4 \times 0,025 = 0,1 \, \text{mol}
\]
Phù hợp.

Vậy công thức của oxit sắt là \( \text{Fe}_3\text{O}_4 \).

7. **Tính thể tích \( V \) của khí CO:**

\[
n_{\text{CO}} = 0,1 \, \text{mol}
\]
Thể tích khí CO ở điều kiện tiêu chuẩn:
\[
V = 0,1 \times 22,4 = 2,24 \, \text{lít}
\]

Vậy công thức hóa học của oxit sắt là \( \text{Fe}_3\text{O}_4 \) và thể tích khí CO cần dùng là 2,24 lít.