Để chứng minh rằng góc \(\angle nOt = \frac{1}{2} \angle xOy\), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Đặt các góc:**
- Giả sử \(\angle xOy = \alpha\).
- Tia \(Om\) nằm trong góc \(\angle xOy\), do đó \(\angle xOm = \beta\) và \(\angle mOy = \alpha - \beta\).

2. **Tia \(On\) là tia phân giác của góc \(\angle xOm\):**
- Do đó, \(\angle xOn = \frac{\beta}{2}\) và \(\angle nOm = \frac{\beta}{2}\).

3. **Tia \(Ot\) là tia phân giác của góc \(\angle mOy\):**
- Do đó, \(\angle mOt = \frac{\alpha - \beta}{2}\) và \(\angle tOy = \frac{\alpha - \beta}{2}\).

4. **Xét góc \(\angle nOt\):**
- \(\angle nOt\) là tổng của hai góc \(\angle nOm\) và \(\angle mOt\):
\[
\angle nOt = \angle nOm + \angle mOt = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2}
\]
- Kết hợp các phân số:
\[
\angle nOt = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\beta + \alpha - \beta}{2} = \frac{\alpha}{2}
\]

5. **Kết luận:**
- Ta đã chứng minh được rằng \(\angle nOt = \frac{\alpha}{2}\), mà \(\alpha = \angle xOy\).
- Do đó, \(\angle nOt = \frac{1}{2} \angle xOy\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \(\angle nOt = \frac{1}{2} \angle xOy\).