Để tính giá trị của biểu thức \( A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \cdots + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ \), ta có thể sử dụng một số tính chất và công thức lượng giác.

Đầu tiên, ta sử dụng công thức:
\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]

Áp dụng công thức này cho từng góc trong biểu thức \( A \), ta có:
\[ \sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 20^\circ = \frac{1 - \cos 40^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 30^\circ = \frac{1 - \cos 60^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 40^\circ = \frac{1 - \cos 80^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 50^\circ = \frac{1 - \cos 100^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 60^\circ = \frac{1 - \cos 120^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 70^\circ = \frac{1 - \cos 140^\circ}{2} \]
\[ \sin^2 80^\circ = \frac{1 - \cos 160^\circ}{2} \]

Như vậy, biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 40^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 60^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 80^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 100^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 120^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 140^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 160^\circ}{2} \]

Tách riêng phần tử số và mẫu số, ta có:
\[ A = \frac{1}{2} \left( (1 - \cos 20^\circ) + (1 - \cos 40^\circ) + (1 - \cos 60^\circ) + (1 - \cos 80^\circ) + (1 - \cos 100^\circ) + (1 - \cos 120^\circ) + (1 - \cos 140^\circ) + (1 - \cos 160^\circ) \right) \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ \cos 100^\circ = -\cos 80^\circ \]
\[ \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ \]
\[ \cos 140^\circ = -\cos 40^\circ \]
\[ \cos 160^\circ = -\cos 20^\circ \]

Do đó, các cặp giá trị \(\cos\) sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\[ \cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0 \]
\[ \cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0 \]
\[ \cos 60^\circ + \cos 120^\circ = 0 \]
\[ \cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0 \]

Vì vậy, biểu thức trở thành:
\[ A = \frac{1}{2} \left( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \right) = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là:
\[ A = 4 \]