Để giải phương trình \( x^2 + 3x + 8 = (x + 1)\sqrt{x + 7} \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Kiểm tra miền xác định của phương trình:**
\[
\sqrt{x + 7} \text{ xác định khi } x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7
\]

2. **Đặt \( t = \sqrt{x + 7} \), khi đó \( t \geq 0 \) và \( t^2 = x + 7 \Rightarrow x = t^2 - 7 \).**

3. **Thay \( x = t^2 - 7 \) vào phương trình ban đầu:**
\[
(t^2 - 7)^2 + 3(t^2 - 7) + 8 = (t^2 - 7 + 1)t
\]

4. **Rút gọn phương trình:**
\[
(t^2 - 7)^2 + 3(t^2 - 7) + 8 = (t^2 - 6)t
\]
\[
t^4 - 14t^2 + 49 + 3t^2 - 21 + 8 = t^3 - 6t
\]
\[
t^4 - 11t^2 + 36 = t^3 - 6t
\]

5. **Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:**
\[
t^4 - t^3 - 11t^2 + 6t + 36 = 0
\]

6. **Giải phương trình bậc 4 này:**
Đây là một phương trình bậc 4 khá phức tạp, ta có thể thử các giá trị của \( t \) để tìm nghiệm.

Thử \( t = 2 \):
\[
2^4 - 2^3 - 11 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 36 = 16 - 8 - 44 + 12 + 36 = 12 \neq 0
\]

Thử \( t = 3 \):
\[
3^4 - 3^3 - 11 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 + 36 = 81 - 27 - 99 + 18 + 36 = 9 \neq 0
\]

Thử \( t = 4 \):
\[
4^4 - 4^3 - 11 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 + 36 = 256 - 64 - 176 + 24 + 36 = 76 \neq 0
\]

Thử \( t = 1 \):
\[
1^4 - 1^3 - 11 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 36 = 1 - 1 - 11 + 6 + 36 = 31 \neq 0
\]

Thử \( t = 0 \):
\[
0^4 - 0^3 - 11 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 36 = 36 \neq 0
\]

Thử \( t = -1 \):
\[
(-1)^4 - (-1)^3 - 11 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 36 = 1 + 1 - 11 - 6 + 36 = 21 \neq 0
\]

Thử \( t = -2 \):
\[
(-2)^4 - (-2)^3 - 11 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 36 = 16 + 8 - 44 - 12 + 36 = 4 \neq 0
\]

Thử \( t = -3 \):
\[
(-3)^4 - (-3)^3 - 11 \cdot (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 36 = 81 + 27 - 99 - 18 + 36 = 27 \neq 0
\]

Thử \( t = -4 \):
\[
(-4)^4 - (-4)^3 - 11 \cdot (-4)^2 + 6 \cdot (-4) + 36 = 256 + 64 - 176 - 24 + 36 = 156 \neq 0
\]

Sau khi thử một số giá trị của \( t \), ta thấy rằng không có nghiệm nguyên nào cho phương trình này. Do đó, ta cần sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc 4 khác như phân tích đa thức hoặc sử dụng công cụ tính toán.

Tuy nhiên, do tính phức tạp của phương trình bậc 4, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tìm nghiệm gần đúng.