Để giải phương trình \( 9x^2 - 53x = 2\sqrt{2x+1} - 71 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bằng 0:**

\( 9x^2 - 53x - 2\sqrt{2x+1} + 71 = 0 \)

2. **Đặt \( y = \sqrt{2x+1} \), từ đó \( y^2 = 2x + 1 \).**

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\[
9x^2 - 53x - 2y + 71 = 0
\]

3. **Biểu diễn \( x \) theo \( y \):**

Từ \( y^2 = 2x + 1 \), ta có:
\[
x = \frac{y^2 - 1}{2}
\]

4. **Thay \( x \) vào phương trình ban đầu:**

\[
9\left(\frac{y^2 - 1}{2}\right)^2 - 53\left(\frac{y^2 - 1}{2}\right) - 2y + 71 = 0
\]

Đơn giản hóa phương trình:
\[
9 \cdot \frac{(y^2 - 1)^2}{4} - 53 \cdot \frac{y^2 - 1}{2} - 2y + 71 = 0
\]

\[
\frac{9(y^4 - 2y^2 + 1)}{4} - \frac{53(y^2 - 1)}{2} - 2y + 71 = 0
\]

\[
\frac{9y^4 - 18y^2 + 9}{4} - \frac{53y^2 - 53}{2} - 2y + 71 = 0
\]

Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{9y^4 - 18y^2 + 9 - 106y^2 + 106 - 8y + 284}{4} = 0
\]

\[
\frac{9y^4 - 124y^2 - 8y + 399}{4} = 0
\]

\[
9y^4 - 124y^2 - 8y + 399 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc 4:**

Phương trình này khá phức tạp để giải bằng tay, nên ta có thể sử dụng các phương pháp số học hoặc phần mềm tính toán để tìm nghiệm của phương trình này.

6. **Kiểm tra nghiệm:**

Sau khi tìm được nghiệm \( y \), ta thay lại vào \( y = \sqrt{2x+1} \) để tìm giá trị của \( x \).

Do phương trình bậc 4 phức tạp, ta có thể sử dụng các công cụ như WolframAlpha hoặc các phần mềm toán học để tìm nghiệm chính xác. Tuy nhiên, việc giải phương trình này bằng tay là rất khó và thường không thực tế.