Để tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức \( S = x^2 + y^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần thay các giá trị của \( x \) và \( y \) vào biểu thức \( S \) và sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này.

Đầu tiên, ta có:
\[ x = \frac{2m + 9}{m + 2} \]
\[ y = \frac{3m + 1}{m + 2} \]

Thay vào biểu thức \( S \):
\[ S = x^2 + y^2 = \left( \frac{2m + 9}{m + 2} \right)^2 + \left( \frac{3m + 1}{m + 2} \right)^2 \]

Ta sẽ tính từng phần riêng lẻ:
\[ x^2 = \left( \frac{2m + 9}{m + 2} \right)^2 = \frac{(2m + 9)^2}{(m + 2)^2} \]
\[ y^2 = \left( \frac{3m + 1}{m + 2} \right)^2 = \frac{(3m + 1)^2}{(m + 2)^2} \]

Do đó:
\[ S = \frac{(2m + 9)^2}{(m + 2)^2} + \frac{(3m + 1)^2}{(m + 2)^2} \]
\[ S = \frac{(2m + 9)^2 + (3m + 1)^2}{(m + 2)^2} \]

Tính tử số:
\[ (2m + 9)^2 = 4m^2 + 36m + 81 \]
\[ (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 \]

Do đó:
\[ (2m + 9)^2 + (3m + 1)^2 = 4m^2 + 36m + 81 + 9m^2 + 6m + 1 = 13m^2 + 42m + 82 \]

Vậy biểu thức \( S \) trở thành:
\[ S = \frac{13m^2 + 42m + 82}{(m + 2)^2} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần xét đạo hàm của \( S \) theo \( m \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là xét giá trị của \( S \) tại các điểm đặc biệt hoặc sử dụng bất đẳng thức.

Ta nhận thấy rằng \( S \) là một hàm phân thức bậc 2 trên bậc 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này.

Tuy nhiên, một cách tiếp cận khác là nhận xét rằng \( S \) có dạng của một hàm số đối xứng và có thể đạt giá trị nhỏ nhất khi \( m \) có giá trị đặc biệt. Ta thử nghiệm một số giá trị của \( m \):

Nếu \( m = 0 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 0 + 9}{0 + 2} = \frac{9}{2} \]
\[ y = \frac{3 \cdot 0 + 1}{0 + 2} = \frac{1}{2} \]
\[ S = \left( \frac{9}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{81}{4} + \frac{1}{4} = \frac{82}{4} = 20.5 \]

Nếu \( m = -2 \):
\[ x = \frac{2(-2) + 9}{-2 + 2} = \text{undefined} \]
Giá trị này không hợp lệ vì mẫu số bằng 0.

Nếu \( m = -1 \):
\[ x = \frac{2(-1) + 9}{-1 + 2} = \frac{7}{1} = 7 \]
\[ y = \frac{3(-1) + 1}{-1 + 2} = \frac{-2}{1} = -2 \]
\[ S = 7^2 + (-2)^2 = 49 + 4 = 53 \]

Từ các giá trị thử nghiệm trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( S \) là 20.5 khi \( m = 0 \).

Vậy giá trị của \( m \) để biểu thức \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( m = 0 \).