Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Hình DIAK là hình gì?

1. **Tính chất của tam giác cân ABC:**
- AB = AC.
- Góc BAE = góc CAF (do AB = AC và E, F là các điểm trên AB, AC).

2. **Đường vuông góc từ D đến BC:**
- Đường vuông góc từ D cắt AB tại E và AC tại F.
- Do đó, DE ⊥ AB và DF ⊥ AC.

3. **Trung điểm I và K:**
- I là trung điểm của BE.
- K là trung điểm của CF.

4. **Xét tứ giác DIAK:**
- DE ⊥ AB và DF ⊥ AC => DE // CF và DF // BE.
- Do đó, DE // IK và DF // IK.

Từ các tính chất trên, ta thấy rằng tứ giác DIAK có các cạnh đối song song, do đó DIAK là một hình bình hành.

### Phần b: Điều kiện để DIAK là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông?

1. **Hình chữ nhật:**
- Để DIAK là hình chữ nhật, cần có một góc vuông.
- Vì DE ⊥ DF, nên góc EDF = 90 độ.
- Do đó, nếu D là điểm chính giữa của BC (tức là D là trung điểm của BC), thì DIAK sẽ là hình chữ nhật.

2. **Hình thoi:**
- Để DIAK là hình thoi, cần có các cạnh bằng nhau.
- Điều này xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều (AB = AC = BC) và D là trung điểm của BC.
- Khi đó, các đoạn BE, CF sẽ bằng nhau và các đoạn DI, IK cũng bằng nhau.

3. **Hình vuông:**
- Để DIAK là hình vuông, cần có cả góc vuông và các cạnh bằng nhau.
- Điều này xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều và D là trung điểm của BC.
- Khi đó, DIAK vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, nên nó là hình vuông.

### Kết luận:

a) Hình DIAK là hình bình hành.

b)
- DIAK là hình chữ nhật khi D là trung điểm của BC.
- DIAK là hình thoi khi tam giác ABC là tam giác đều và D là trung điểm của BC.
- DIAK là hình vuông khi tam giác ABC là tam giác đều và D là trung điểm của BC.

Hy vọng giải thích này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.