### Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

#### a) Chứng minh ΔABH đồng dạng với ΔCAH, từ đó suy ra AH² = BH * CH.

**Chứng minh:**

- Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao AH.
- Xét hai tam giác ABH và CAH:
- Góc AHB và góc AHC đều là góc vuông (do AH là đường cao).
- Góc BAH chung cho cả hai tam giác ABH và CAH.

=> ΔABH đồng dạng với ΔCAH (góc - góc).

**Suy ra:**

- Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{CH}{AH}
\]
- Nhân chéo hai vế của đẳng thức trên, ta được:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

#### b) Cho BH = 4cm, BC = 13 cm. Tính AH, AB.

**Giải:**

- Ta có:
\[
BC = BH + HC
\]
\[
13 = 4 + HC
\]
\[
HC = 13 - 4 = 9 \text{ cm}
\]

- Từ phần a, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]
\[
AH^2 = 4 \cdot 9 = 36
\]
\[
AH = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52
\]
\[
AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm}
\]

#### c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh: AE * CH = AH * FC.

**Chứng minh:**

- Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông HFC:
- Góc AHE và góc HFC đều là góc vuông.
- Góc EAH và góc FCH là hai góc đối đỉnh (do đường thẳng qua H vuông góc với HE).

=> ΔAHE đồng dạng với ΔHFC (góc - góc).

- Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AE}{AH} = \frac{CH}{FC}
\]
- Nhân chéo hai vế của đẳng thức trên, ta được:
\[
AE \cdot CH = AH \cdot FC
\]

Vậy ta đã chứng minh được AE * CH = AH * FC.