Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật, hình bình hành và các tính chất của tam giác vuông.

**a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật:**

Để chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông.

- Ta có \( HE \perp AB \) tại E (giả thiết).
- Ta có \( HF \perp AC \) tại F (giả thiết).
- Ta có \( AH \perp BC \) tại H (vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC).

Do đó:
- \( \angle HEA = 90^\circ \) (vì HE vuông góc với AB).
- \( \angle HFA = 90^\circ \) (vì HF vuông góc với AC).
- \( \angle AHE = 90^\circ \) (vì AH vuông góc với BC).
- \( \angle AHF = 90^\circ \) (vì AH vuông góc với BC).

Vì tứ giác AFHE có bốn góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành:**

Để chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- Trên tia đối của tia FH lấy M sao cho \( FH = FM \). Do đó, \( FM = FH \).
- Trên tia đối của tia EH lấy N sao cho \( EH = EN \). Do đó, \( EN = EH \).

Xét tứ giác AEFM:
- Ta có \( AE \parallel FM \) (vì \( AE \perp AB \) và \( FM \perp AC \)).
- Ta có \( AF \parallel EM \) (vì \( AF \perp AC \) và \( EM \perp AB \)).

Vì tứ giác AEFM có hai cặp cạnh đối song song, nên nó là hình bình hành.

**c) Chứng minh A, N, M thẳng hàng:**

Để chứng minh A, N, M thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng ba điểm này nằm trên cùng một đường thẳng.

- Ta đã biết \( FH = FM \) và \( EH = EN \).
- Do đó, \( M \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( F \) và \( N \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( E \).

Vì \( M \) và \( N \) là các điểm đối xứng của \( H \) qua \( F \) và \( E \) tương ứng, nên \( M \), \( H \), và \( N \) thẳng hàng.

Do đó, \( A \), \( N \), và \( M \) thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.