Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức liên quan đến diện tích hình thang và các thông tin đã cho. Gọi độ dài đáy bé là \(a\) mét và độ dài đáy lớn là \(b\) mét. Chiều cao của hình thang là \(h\) mét.

Theo đề bài, diện tích của miếng đất hình thang là 1053 m²:
\[ \frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 1053 \]

Khi tăng độ dài đáy bé thêm 4 mét, diện tích mới là 1107 m²:
\[ \frac{1}{2} \times (a + 4 + b) \times h = 1107 \]

Hiệu của hai đáy là 12 mét:
\[ b - a = 12 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

1. Từ phương trình diện tích ban đầu:
\[ \frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 1053 \]
\[ (a + b) \times h = 2106 \quad \text{(1)} \]

2. Từ phương trình diện tích sau khi tăng đáy bé thêm 4 mét:
\[ \frac{1}{2} \times (a + 4 + b) \times h = 1107 \]
\[ (a + 4 + b) \times h = 2214 \quad \text{(2)} \]

3. Từ phương trình hiệu của hai đáy:
\[ b - a = 12 \]
\[ b = a + 12 \quad \text{(3)} \]

Thay \( b = a + 12 \) vào phương trình (1):
\[ (a + (a + 12)) \times h = 2106 \]
\[ (2a + 12) \times h = 2106 \]
\[ 2a + 12 = \frac{2106}{h} \]
\[ 2a + 12 = \frac{2106}{h} \quad \text{(4)} \]

Thay \( b = a + 12 \) vào phương trình (2):
\[ (a + 4 + (a + 12)) \times h = 2214 \]
\[ (2a + 16) \times h = 2214 \]
\[ 2a + 16 = \frac{2214}{h} \]
\[ 2a + 16 = \frac{2214}{h} \quad \text{(5)} \]

Từ phương trình (4) và (5), ta có:
\[ \frac{2106}{h} + 4 = \frac{2214}{h} \]
\[ \frac{2214}{h} - \frac{2106}{h} = 4 \]
\[ \frac{2214 - 2106}{h} = 4 \]
\[ \frac{108}{h} = 4 \]
\[ h = \frac{108}{4} \]
\[ h = 27 \]

Thay \( h = 27 \) vào phương trình (4):
\[ 2a + 12 = \frac{2106}{27} \]
\[ 2a + 12 = 78 \]
\[ 2a = 78 - 12 \]
\[ 2a = 66 \]
\[ a = 33 \]

Vậy độ dài đáy bé là \( a = 33 \) mét. Độ dài đáy lớn là:
\[ b = a + 12 = 33 + 12 = 45 \) mét.

Kết luận:
- Độ dài đáy bé là 33 mét.
- Độ dài đáy lớn là 45 mét.