Để giải hệ phương trình này, ta cần giải đồng thời hai phương trình sau:

1. \(5x + 4y = \frac{2}{3}\)
2. \(5y + 4x = \frac{41}{60}\)

Trước tiên, ta nhận thấy rằng hai phương trình này có dạng khá giống nhau. Ta có thể sử dụng phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình để loại bỏ một biến.

Bước 1: Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

\[
(5y + 4x) - (5x + 4y) = \frac{41}{60} - \frac{2}{3}
\]

\[
5y + 4x - 5x - 4y = \frac{41}{60} - \frac{2}{3}
\]

\[
(5y - 4y) + (4x - 5x) = \frac{41}{60} - \frac{2}{3}
\]

\[
y - x = \frac{41}{60} - \frac{2}{3}
\]

Chuyển đổi \(\frac{2}{3}\) thành phân số có mẫu số là 60:

\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 20}{3 \times 20} = \frac{40}{60}
\]

Do đó:

\[
y - x = \frac{41}{60} - \frac{40}{60} = \frac{1}{60}
\]

Bước 2: Ta có phương trình mới:

\[
y - x = \frac{1}{60}
\]

Bây giờ, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
y = x + \frac{1}{60}
\]

Bước 3: Thay \(y\) vào phương trình đầu tiên:

\[
5x + 4\left(x + \frac{1}{60}\right) = \frac{2}{3}
\]

\[
5x + 4x + \frac{4}{60} = \frac{2}{3}
\]

\[
9x + \frac{2}{30} = \frac{2}{3}
\]

Chuyển đổi \(\frac{2}{30}\) thành phân số có mẫu số là 3:

\[
\frac{2}{30} = \frac{1}{15}
\]

Do đó:

\[
9x + \frac{1}{15} = \frac{2}{3}
\]

Chuyển đổi \(\frac{2}{3}\) thành phân số có mẫu số là 15:

\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}
\]

Do đó:

\[
9x + \frac{1}{15} = \frac{10}{15}
\]

Trừ \(\frac{1}{15}\) từ cả hai vế:

\[
9x = \frac{10}{15} - \frac{1}{15}
\]

\[
9x = \frac{9}{15}
\]

\[
9x = \frac{3}{5}
\]

Chia cả hai vế cho 9:

\[
x = \frac{3}{5 \times 9} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}
\]

Bước 4: Thay \(x = \frac{1}{15}\) vào phương trình \(y = x + \frac{1}{60}\):

\[
y = \frac{1}{15} + \frac{1}{60}
\]

Chuyển đổi \(\frac{1}{15}\) thành phân số có mẫu số là 60:

\[
\frac{1}{15} = \frac{1 \times 4}{15 \times 4} = \frac{4}{60}
\]

Do đó:

\[
y = \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
\]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{1}{15}, \quad y = \frac{1}{12}
\]