Để chứng minh rằng \( A > 1 \) với \( x > 1 \), ta cần phân tích biểu thức \( A \) đã cho:

\[ A = \frac{\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}}{\left(\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x} - 1 + \frac{2 - x^2}{x^2 - x}\right)} \]

Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phần của biểu thức này.

### Phần tử số:
\[ \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} \]

Nhận thấy rằng:
\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]

Do đó:
\[ \frac{x^2 + x}{(x - 1)^2} \]

### Phần mẫu số:
\[ \frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x} - 1 + \frac{2 - x^2}{x^2 - x} \]

Đơn giản hóa từng phần tử trong mẫu số:
\[ \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \]
\[ -1 = -1 \]
\[ \frac{2 - x^2}{x^2 - x} = \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \]

Kết hợp lại, ta có:
\[ 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - 1 + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{2}{x} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \]

Để đơn giản hóa tiếp, ta cần kết hợp các phân số:
\[ \frac{2}{x} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{2(x - 1) + (2 - x^2)}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{2x - 2 + 2 - x^2}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{2x - x^2}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{x(2 - x)}{x(x - 1)} \]
\[ = \frac{2 - x}{x - 1} \]

### Kết hợp lại:
\[ A = \frac{\frac{x^2 + x}{(x - 1)^2}}{\frac{2 - x}{x - 1}} \]
\[ = \frac{x^2 + x}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 1}{2 - x} \]
\[ = \frac{x^2 + x}{(x - 1)(2 - x)} \]

Nhận thấy rằng \( 2 - x = -(x - 2) \), ta có:
\[ A = \frac{x^2 + x}{(x - 1)(-(x - 2))} \]
\[ = -\frac{x^2 + x}{(x - 1)(x - 2)} \]

Để chứng minh \( A > 1 \) với \( x > 1 \), ta cần phân tích dấu của biểu thức này. Tuy nhiên, ta thấy rằng \( x^2 + x \) luôn dương với \( x > 1 \), và \( (x - 1)(x - 2) \) cũng luôn dương với \( x > 2 \). Do đó, dấu của \( A \) phụ thuộc vào dấu của \( -1 \).

### Kết luận:
\[ A = -\frac{x^2 + x}{(x - 1)(x - 2)} \]

Với \( x > 1 \), ta thấy rằng \( A \) luôn âm, điều này mâu thuẫn với yêu cầu \( A > 1 \). Do đó, có thể có lỗi trong bài toán hoặc trong cách tiếp cận của chúng ta. Hãy kiểm tra lại các bước hoặc điều kiện của bài toán.