Cho x+y+z=3. Tìm GTNN của A = x^2 + y^2 + z^2? Tìm GTLN của B = xy + yz + zx? Tìm GTNN của A+B

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp toán học như bất đẳng thức và các tính chất của số học.

**a) Tìm GTNN của \( A = x^2 + y^2 + z^2 \)**

Chúng ta biết rằng \( x + y + z = 3 \). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[ (x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (x + y + z)^2 \]

\[ (x^2 + y^2 + z^2) \cdot 3 \geq 3^2 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{9}{3} = 3 \]

Dấu "=" xảy ra khi \( x = y = z \). Vì \( x + y + z = 3 \), nên \( x = y = z = 1 \).

Vậy GTNN của \( A = x^2 + y^2 + z^2 \) là 3 khi \( x = y = z = 1 \).

**b) Tìm GTLN của \( B = xy + yz + zx \)**

Chúng ta biết rằng \( x + y + z = 3 \). Sử dụng công thức:

\[ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \]

Thay \( x + y + z = 3 \) và \( x^2 + y^2 + z^2 \geq 3 \) vào, ta có:

\[ 9 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \]

\[ 9 \geq 3 + 2(xy + yz + zx) \]

\[ 6 \geq 2(xy + yz + zx) \]

\[ 3 \geq xy + yz + zx \]

Dấu "=" xảy ra khi \( x = y = z \). Vì \( x + y + z = 3 \), nên \( x = y = z = 1 \).

Vậy GTLN của \( B = xy + yz + zx \) là 3 khi \( x = y = z = 1 \).

**c) Tìm GTNN của \( A + B \)**

Chúng ta đã biết rằng \( A = x^2 + y^2 + z^2 \) và \( B = xy + yz + zx \). Ta cần tìm GTNN của \( A + B \).

Từ các kết quả trên, ta có:

\[ A + B = x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx \]

Sử dụng \( x = y = z = 1 \), ta có:

\[ A + B = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3 + 3 = 6 \]

Vậy GTNN của \( A + B \) là 6 khi \( x = y = z = 1 \).