Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các kích thước của hình hộp chữ nhật, sau đó tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của nó.

1. **Xác định các kích thước của hình hộp chữ nhật:**

Gọi chiều dài là \( l \), chiều rộng là \( w \), và chiều cao là \( h \).

Theo đề bài:
- Chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\) chiều dài, tức là \( w = \frac{3}{5}l \).
- Chiều cao \( h = 10 \) dm.
- Chu vi của hình hộp chữ nhật là 108,8 dm.

Chu vi của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ 4(l + w + h) = 108,8 \]

Thay \( w = \frac{3}{5}l \) và \( h = 10 \) dm vào công thức trên:
\[ 4 \left( l + \frac{3}{5}l + 10 \right) = 108,8 \]

Giải phương trình trên:
\[ 4 \left( l + \frac{3}{5}l + 10 \right) = 108,8 \]
\[ l + \frac{3}{5}l + 10 = 27,2 \]
\[ l + 0,6l + 10 = 27,2 \]
\[ 1,6l + 10 = 27,2 \]
\[ 1,6l = 17,2 \]
\[ l = \frac{17,2}{1,6} \]
\[ l = 10,75 \text{ dm} \]

Chiều dài \( l = 10,75 \) dm.

Chiều rộng \( w = \frac{3}{5} \times 10,75 = 6,45 \) dm.

2. **Tính diện tích xung quanh:**

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ S_{xq} = 2h(l + w) \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ S_{xq} = 2 \times 10 \times (10,75 + 6,45) \]
\[ S_{xq} = 20 \times 17,2 \]
\[ S_{xq} = 344 \text{ dm}^2 \]

3. **Tính diện tích toàn phần:**

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ S_{tp} = 2(lw + lh + wh) \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ S_{tp} = 2(10,75 \times 6,45 + 10,75 \times 10 + 6,45 \times 10) \]
\[ S_{tp} = 2(69,3375 + 107,5 + 64,5) \]
\[ S_{tp} = 2 \times 241,3375 \]
\[ S_{tp} = 482,675 \text{ dm}^2 \]

4. **Tính thể tích:**

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ V = l \times w \times h \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ V = 10,75 \times 6,45 \times 10 \]
\[ V = 692,875 \text{ dm}^3 \]

Tóm lại:
- Diện tích xung quanh: \( 344 \text{ dm}^2 \)
- Diện tích toàn phần: \( 482,675 \text{ dm}^2 \)
- Thể tích: \( 692,875 \text{ dm}^3 \)