Để chứng minh rằng \( C = 2022^{4n} + 2023^{4n} + 2024^{4n} + 2025^{4n} \) không thể là số chính phương, ta sẽ xem xét biểu thức này dưới dạng modulo 16.

Trước hết, ta cần tính các giá trị của \( 2022^{4n} \), \( 2023^{4n} \), \( 2024^{4n} \), và \( 2025^{4n} \) theo modulo 16.

1. **Tính \( 2022 \mod 16 \):**
\[
2022 \div 16 = 126 \text{ dư } 6 \implies 2022 \equiv 6 \mod 16
\]
Do đó:
\[
2022^{4n} \equiv 6^{4n} \mod 16
\]

2. **Tính \( 2023 \mod 16 \):**
\[
2023 \div 16 = 126 \text{ dư } 7 \implies 2023 \equiv 7 \mod 16
\]
Do đó:
\[
2023^{4n} \equiv 7^{4n} \mod 16
\]

3. **Tính \( 2024 \mod 16 \):**
\[
2024 \div 16 = 126 \text{ dư } 8 \implies 2024 \equiv 8 \mod 16
\]
Do đó:
\[
2024^{4n} \equiv 8^{4n} \mod 16
\]

4. **Tính \( 2025 \mod 16 \):**
\[
2025 \div 16 = 126 \text{ dư } 9 \implies 2025 \equiv 9 \mod 16
\]
Do đó:
\[
2025^{4n} \equiv 9^{4n} \mod 16
\]

Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị \( 6^{4n} \), \( 7^{4n} \), \( 8^{4n} \), và \( 9^{4n} \) theo modulo 16.

- **Tính \( 6^{4n} \mod 16 \):**
\[
6^2 = 36 \equiv 4 \mod 16 \implies 6^{4n} = (6^2)^{2n} \equiv 4^{2n} \mod 16
\]
\[
4^2 = 16 \equiv 0 \mod 16 \implies 4^{2n} \equiv 0 \mod 16 \text{ (với } n \geq 1\text{)}
\]
Do đó:
\[
6^{4n} \equiv 0 \mod 16
\]

- **Tính \( 7^{4n} \mod 16 \):**
\[
7^2 = 49 \equiv 1 \mod 16 \implies 7^{4n} = (7^2)^{2n} \equiv 1^{2n} \equiv 1 \mod 16
\]

- **Tính \( 8^{4n} \mod 16 \):**
\[
8^2 = 64 \equiv 0 \mod 16 \implies 8^{4n} = (8^2)^{2n} \equiv 0^{2n} \equiv 0 \mod 16
\]

- **Tính \( 9^{4n} \mod 16 \):**
\[
9^2 = 81 \equiv 1 \mod 16 \implies 9^{4n} = (9^2)^{2n} \equiv 1^{2n} \equiv 1 \mod 16
\]

Bây giờ, ta cộng các kết quả lại:
\[
C \equiv 2022^{4n} + 2023^{4n} + 2024^{4n} + 2025^{4n} \equiv 0 + 1 + 0 + 1 \equiv 2 \mod 16
\]

Vì \( C \equiv 2 \mod 16 \), nên \( C \) không thể là số chính phương. Điều này là do không có số chính phương nào có dạng \( 2 \mod 16 \).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( C \) không thể là số chính phương.