Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết \( \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \) và \( BC = 25 \) cm. Ta cần tính các độ dài \( AB \), \( AC \), \( BH \), \( CH \), và \( AH \).

1. **Tính \( AB \) và \( AC \)**:
- Gọi \( AB = 3k \) và \( AC = 4k \) với \( k \) là một hằng số.
- Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
25^2 = (3k)^2 + (4k)^2
\]
\[
625 = 9k^2 + 16k^2
\]
\[
625 = 25k^2
\]
\[
k^2 = 25
\]
\[
k = 5
\]
- Vậy:
\[
AB = 3k = 3 \times 5 = 15 \text{ cm}
\]
\[
AC = 4k = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \)**:
- Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{15 \times 20}{25}
\]
\[
AH = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm}
\]

3. **Tính \( BH \) và \( CH \)**:
- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC}
\]
\[
BH = \frac{15^2}{25}
\]
\[
BH = \frac{225}{25} = 9 \text{ cm}
\]
\[
CH = \frac{AC^2}{BC}
\]
\[
CH = \frac{20^2}{25}
\]
\[
CH = \frac{400}{25} = 16 \text{ cm}
\]

Tóm lại, các độ dài cần tìm là:
- \( AB = 15 \) cm
- \( AC = 20 \) cm
- \( AH = 12 \) cm
- \( BH = 9 \) cm
- \( CH = 16 \) cm