Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải chúng để tìm diện tích ban đầu của khu vườn.

Gọi \( x \) là chiều rộng ban đầu của khu vườn (đơn vị: mét). Khi đó, chiều dài ban đầu của khu vườn sẽ là \( x + 5 \) (mét).

Diện tích ban đầu của khu vườn là:
\[ A = x \times (x + 5) \]

Khi tăng chiều rộng thêm 5 mét và chiều dài thêm 2 mét, chiều rộng mới sẽ là \( x + 5 \) và chiều dài mới sẽ là \( x + 7 \).

Diện tích mới của khu vườn là:
\[ A' = (x + 5) \times (x + 7) \]

Theo đề bài, diện tích mới gấp đôi diện tích ban đầu:
\[ A' = 2A \]

Thay các biểu thức diện tích vào phương trình trên:
\[ (x + 5)(x + 7) = 2x(x + 5) \]

Giải phương trình này:
\[ x^2 + 12x + 35 = 2x^2 + 10x \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:
\[ x^2 + 12x + 35 - 2x^2 - 10x = 0 \]
\[ -x^2 + 2x + 35 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 35 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -35 \):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{144}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 12}{2} \]

Chúng ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{2 + 12}{2} = 7 \]
\[ x = \frac{2 - 12}{2} = -5 \]

Vì chiều rộng không thể âm, nên chúng ta chọn \( x = 7 \).

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là 7 mét và chiều dài ban đầu là \( 7 + 5 = 12 \) mét.

Diện tích ban đầu của khu vườn là:
\[ A = 7 \times 12 = 84 \, \text{m}^2 \]

Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là 84 mét vuông.