Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức liên quan đến vận tốc, quãng đường và thời gian. Gọi \( v \) là vận tốc dự định của người đó (đơn vị: km/h).

1. **Thời gian dự định để đi từ A đến B:**
\[
t = \frac{60}{v}
\]

2. **Thời gian để đi 30 km đầu tiên:**
\[
t_1 = \frac{30}{v}
\]

3. **Thời gian nghỉ:**
\[
t_{\text{nghỉ}} = 0.5 \text{ giờ} (30 phút)
\]

4. **Thời gian còn lại để đi 30 km tiếp theo:**
\[
t_2 = t - t_1 - t_{\text{nghỉ}}
\]

5. **Vận tốc mới để đi 30 km tiếp theo:**
\[
v_{\text{mới}} = v + 2 \text{ km/h}
\]

6. **Thời gian để đi 30 km với vận tốc mới:**
\[
t_2 = \frac{30}{v + 2}
\]

Bây giờ, ta có phương trình:
\[
t - t_1 - t_{\text{nghỉ}} = \frac{30}{v + 2}
\]

Thay \( t \) và \( t_1 \) vào phương trình:
\[
\frac{60}{v} - \frac{30}{v} - 0.5 = \frac{30}{v + 2}
\]

Đơn giản hóa phương trình:
\[
\frac{30}{v} - 0.5 = \frac{30}{v + 2}
\]

Nhân cả hai vế với \( v(v + 2) \) để loại bỏ mẫu số:
\[
30(v + 2) - 0.5v(v + 2) = 30v
\]

Mở rộng và đơn giản hóa:
\[
30v + 60 - 0.5v^2 - v = 30v
\]

\[
60 - 0.5v^2 - v = 0
\]

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ hệ số thập phân:
\[
120 - v^2 - 2v = 0
\]

Chuyển đổi thành phương trình bậc hai:
\[
v^2 + 2v - 120 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = -120 \):
\[
v = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
v = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2}
\]

\[
v = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2}
\]

\[
v = \frac{-2 \pm 22}{2}
\]

Có hai nghiệm:
\[
v = \frac{20}{2} = 10 \text{ km/h}
\]
\[
v = \frac{-24}{2} = -12 \text{ km/h} \quad (\text{loại vì vận tốc không thể âm})
\]

Vậy vận tốc dự định của người đó là \( 10 \text{ km/h} \).