Để rút gọn biểu thức \((a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)\), ta có thể sử dụng công thức đặc biệt của tổng ba lập phương:

\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
\]

Trong trường hợp này, ta đặt \(x = a+b\), \(y = b+c\), và \(z = c+a\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]

Áp dụng công thức trên, ta có:

\[
(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b + b+c + c+a)((a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 - (a+b)(b+c) - (b+c)(c+a) - (c+a)(a+b))
\]

Rút gọn phần trong ngoặc đầu tiên:

\[
a+b + b+c + c+a = 2(a+b+c)
\]

Tiếp theo, ta tính phần trong ngoặc thứ hai:

\[
(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 - (a+b)(b+c) - (b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)
\]

Tính từng phần riêng lẻ:

\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2
\]
\[
(c+a)^2 = c^2 + 2ca + a^2
\]

\[
(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc
\]
\[
(b+c)(c+a) = bc + b^2 + ac + c^2
\]
\[
(c+a)(a+b) = ca + c^2 + ab + a^2
\]

Cộng các bình phương lại:

\[
(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2bc + c^2) + (c^2 + 2ca + a^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
\]

Trừ đi các tích:

\[
(ab + ac + b^2 + bc) + (bc + b^2 + ac + c^2) + (ca + c^2 + ab + a^2) = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca
\]

Do đó:

\[
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - (a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
2(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)
\]

Tuy nhiên, nếu \(a + b + c = 0\), thì biểu thức sẽ đơn giản hơn:

\[
2(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) = 0
\]

Do đó, biểu thức \((a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)\) rút gọn thành \(0\) khi \(a + b + c = 0\).