Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBH

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta cần chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBH.

- Xét tam giác ABH và tam giác CBH:
- Góc AHB là góc chung.
- Góc A là góc vuông (vì tam giác ABC vuông tại A), do đó góc BAH là góc nhọn.
- Góc B trong tam giác CBH cũng là góc nhọn.

Do đó, ta có:
- Góc BAH = Góc BCH (vì cả hai đều là góc nhọn trong tam giác vuông tại A và H tương ứng).
- Góc AHB là góc chung.

Vậy, theo định lý đồng dạng góc-góc (AA), ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBH.

### Phần b: Tính độ dài đoạn thẳng AB

Cho BH = 4 cm, BC = 11 cm. Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AB.

- Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- BC là cạnh huyền.
- BH là đường cao từ đỉnh B xuống cạnh AC.

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông ABC:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Do BH là đường cao từ B xuống AC, ta có:
\[ BH^2 = AH \cdot HC \]

Từ đó, ta có thể tính AH và HC:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AB \cdot AC = BH \cdot BC \]

Thay số vào:
\[ AB \cdot AC = 4 \cdot 11 = 44 \]

Do đó:
\[ AB \cdot AC = 44 \]

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
\[ AB^2 + AC^2 = 11^2 = 121 \]

Kết hợp hai phương trình:
\[ AB \cdot AC = 44 \]
\[ AB^2 + AC^2 = 121 \]

Đặt \( AB = x \) và \( AC = y \), ta có:
\[ x \cdot y = 44 \]
\[ x^2 + y^2 = 121 \]

Giải hệ phương trình này, ta có:
\[ y = \frac{44}{x} \]
\[ x^2 + \left(\frac{44}{x}\right)^2 = 121 \]
\[ x^2 + \frac{1936}{x^2} = 121 \]

Nhân cả hai vế với \( x^2 \):
\[ x^4 + 1936 = 121x^2 \]
\[ x^4 - 121x^2 + 1936 = 0 \]

Đặt \( t = x^2 \), ta có:
\[ t^2 - 121t + 1936 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ t = \frac{121 \pm \sqrt{121^2 - 4 \cdot 1936}}{2} \]
\[ t = \frac{121 \pm \sqrt{14641 - 7744}}{2} \]
\[ t = \frac{121 \pm \sqrt{6897}}{2} \]

Do đó:
\[ x^2 = \frac{121 + \sqrt{6897}}{2} \]

Vậy:
\[ AB = \sqrt{\frac{121 + \sqrt{6897}}{2}} \]

### Phần c: Chứng minh AE.CH = AH.FC

Gọi E là điểm bất kỳ trên AB, kẻ HF vuông góc với HE tại H. Ta cần chứng minh AE.CH = AH.FC.

- Xét tam giác vuông AEH và tam giác vuông HFC:
- Góc AEH và góc HFC đều là góc vuông.
- Góc AHE là góc chung.

Do đó, tam giác AEH đồng dạng với tam giác HFC theo định lý đồng dạng góc-góc (AA).

Vậy, ta có:
\[ \frac{AE}{AH} = \frac{CH}{FC} \]

Từ đó suy ra:
\[ AE \cdot FC = AH \cdot CH \]

Vậy, ta đã chứng minh được AE.CH = AH.FC.