Để giải bài toán này, ta cần đặt ẩn số và lập phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là số chi tiết máy mà tổ 1 sản xuất được trong đầu tháng.
Gọi \( y \) là số chi tiết máy mà tổ 2 sản xuất được trong đầu tháng.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. Tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất được trong đầu tháng là 900:
\[ x + y = 900 \]

2. Tháng thứ 2, tổ 1 vượt mức 10% và tổ 2 vượt mức 12%, tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất được là 1000:
\[ x + 0.1x + y + 0.12y = 1000 \]

Ta có thể viết lại phương trình thứ hai như sau:
\[ 1.1x + 1.12y = 1000 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 900 \\
1.1x + 1.12y = 1000
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[ y = 900 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 1.1x + 1.12(900 - x) = 1000 \]
\[ 1.1x + 1008 - 1.12x = 1000 \]
\[ -0.02x + 1008 = 1000 \]
\[ -0.02x = 1000 - 1008 \]
\[ -0.02x = -8 \]
\[ x = \frac{-8}{-0.02} \]
\[ x = 400 \]

Thay \( x = 400 \) vào phương trình \( y = 900 - x \):
\[ y = 900 - 400 \]
\[ y = 500 \]

Vậy, trong đầu tháng, tổ 1 sản xuất được 400 chi tiết máy và tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy.