Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**Phần a: Chứng minh tam giác AHB ~ tam giác CHA**

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
- \(\angle AHB = 90^\circ\) (do AH là đường cao)
- \(\angle CHA = 90^\circ\) (do AH là đường cao)

Xét hai tam giác AHB và CHA:
- \(\angle AHB = \angle CHA = 90^\circ\)
- \(\angle BAH = \angle CAH\) (góc chung)

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[ \triangle AHB \sim \triangle CHA \]

**Phần b: Chứng minh tam giác AEF ∽ tam giác BEH**

Kẻ đường phân giác AD của tam giác CHA và đường phân giác BK của tam giác ABC (D thuộc BC; K thuộc AC). BK cắt lần lượt AH và AD tại E và F.

Xét tam giác AEF và tam giác BEH:
- \(\angle AEF = \angle BEH\) (góc đối đỉnh)
- \(\angle AFE = \angle BHE\) (góc tương ứng do AD và BK là các đường phân giác)

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[ \triangle AEF \sim \triangle BEH \]

**Phần c: Chứng minh KD // AH**

Do AD là đường phân giác của tam giác CHA, nên:
\[ \frac{CD}{DA} = \frac{CH}{HA} \]

Do BK là đường phân giác của tam giác ABC, nên:
\[ \frac{CK}{KA} = \frac{CB}{BA} \]

Xét tam giác CHA và tam giác ABC, ta có:
\[ \frac{CH}{HA} = \frac{CB}{BA} \]

Do đó:
\[ \frac{CD}{DA} = \frac{CK}{KA} \]

Vì vậy, KD là đường trung bình của tam giác CHA, nên KD // AH.

**Phần d: Chứng minh EH/AB = KD/BC**

Xét tam giác AEF và tam giác BEH (đã chứng minh là đồng dạng ở phần b):
\[ \frac{EH}{AB} = \frac{EF}{BE} \]

Xét tam giác ABC và tam giác CHA:
\[ \frac{KD}{BC} = \frac{AD}{AC} \]

Do AD là đường phân giác của tam giác CHA, nên:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{AH}{HC} \]

Vì tam giác AHB và tam giác CHA đồng dạng (phần a), ta có:
\[ \frac{AH}{HC} = \frac{AB}{BC} \]

Do đó:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC} \]

Vì vậy:
\[ \frac{EH}{AB} = \frac{KD}{BC} \]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.