Để tính cạnh AB trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng các hàm lượng giác. Cụ thể, ta sẽ sử dụng hàm sin và cos để tính cạnh AB.

1. Trường hợp a) \( \angle C = 41^\circ \)

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[ \sin(\angle C) = \frac{AB}{AC} \]

Do đó:
\[ AB = AC \cdot \sin(\angle C) \]

Thay giá trị vào:
\[ AB = 10 \cdot \sin(41^\circ) \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \sin(41^\circ) \):
\[ \sin(41^\circ) \approx 0.6561 \]

Vậy:
\[ AB \approx 10 \cdot 0.6561 = 6.561 \text{ cm} \]

2. Trường hợp b) \( \angle B = 30^\circ \)

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[ \cos(\angle B) = \frac{AC}{AB} \]

Do đó:
\[ AB = \frac{AC}{\cos(\angle B)} \]

Thay giá trị vào:
\[ AB = \frac{10}{\cos(30^\circ)} \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \cos(30^\circ) \):
\[ \cos(30^\circ) \approx 0.866 \]

Vậy:
\[ AB \approx \frac{10}{0.866} \approx 11.55 \text{ cm} \]

3. Trường hợp c) \( \angle C = 50^\circ \)

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[ \sin(\angle C) = \frac{AB}{AC} \]

Do đó:
\[ AB = AC \cdot \sin(\angle C) \]

Thay giá trị vào:
\[ AB = 10 \cdot \sin(50^\circ) \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \sin(50^\circ) \):
\[ \sin(50^\circ) \approx 0.766 \]

Vậy:
\[ AB \approx 10 \cdot 0.766 = 7.66 \text{ cm} \]

4. Trường hợp d) \( \angle B = 70^\circ \)

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[ \cos(\angle B) = \frac{AC}{AB} \]

Do đó:
\[ AB = \frac{AC}{\cos(\angle B)} \]

Thay giá trị vào:
\[ AB = \frac{10}{\cos(70^\circ)} \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \cos(70^\circ) \):
\[ \cos(70^\circ) \approx 0.342 \]

Vậy:
\[ AB \approx \frac{10}{0.342} \approx 29.24 \text{ cm} \]

Tóm lại, các giá trị của cạnh AB trong các trường hợp là:
a) \( AB \approx 6.561 \text{ cm} \)
b) \( AB \approx 11.55 \text{ cm} \)
c) \( AB \approx 7.66 \text{ cm} \)
d) \( AB \approx 29.24 \text{ cm} \)